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“JOSÉ ANTONIO ANZOÁTEGUI”
EL TIGRE-EDO-ANZOÁTEGUI
Cátedra: Matemática II
Especialidades: Mecánica - Química
Lic. MSc. DÁMASO ROJAS
PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
Los métodos para determinar los máximos y mínimos de las funciones se pueden aplicar a
la solución de problemas prácticos, para resolverlos tenemos que transformar sus
enunciados en fórmulas, funciones o ecuaciones.
Debido a que hay múltiples tipos de ejercicios no hay una regla única para sus soluciones,
sin embargo puede desarrollarse una estrategia general para abordarlos, la siguiente es de
mucha utilidad.
ESTRATEGIA PARA RESOLVER PROBLEMAS APLICADOS A LA OPTIMIZACIÓN.
a) Identificar los hechos dados y las cantidades desconocidas que se tratan de
encontrar.
b) Realizar un croquis o diagrama que incluya los datos pertinentes introduciendo
variables para las cantidades desconocidas.
c) Enunciar los hechos conocidos y las relaciones entre las variables.
d) Determinar de cuál de las variables se desea encontrar el máximo o el mínimo y expresa resta variable como función de una de las otras variables.
e) Encontrar los valores críticos de la función obtenida.
f) Utilizar el criterio de la primera o de la segunda derivada para determinar si esos
valores críticos son máximos o mínimos.
g) Verificar si hay máximos o mínimos en la frontera del dominio de la función que se
obtuvo anteriormente.
h) MUCHA DEDICACIÓN Y PRÁCTICA.
1.) Hallar dos números cuya suma es 18, sabiendo que el producto de uno por el
cuadrado el otro es máximo.
Según el enunciado x + y = 18
y
x ⋅ y 2 = Máximo
Despejemos una en la primera ecuación y su valor lo llevamos a la ecuación del máximo.
y = 18 − x ;
Máximo = x (18 − x )
2
⇒ M ( x) = x (18 − x ) , En esta ecuación hallamos el
2valor de x que la hace máxima.
A.‐ Hallar la primera derivada, se iguala a cero y se resolve la ecuación resultante.
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damasorojas8@gmail.com, damasorojas8@galeon.com, joeldama@yahoo.com.
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M ´( x) = (18 − x ) − 2 x (18 − x) ⇒ M ´( x) = 3 ( x − 18 )( x − 6 )
2
si : M ´( x) = 0 ⇒ −3 (18 − x )( x − 6 ) = 0 ⇒ x1 = 18; x2 = 6(v.c.)
B.‐ Calculamos la segunda derivada y hallamos su valor numérico para las raíces
anteriores.
M ′′( x) = 6 ( x − 12 ) ⇒ M ′′( 6) = −36 < 0 ⇒ ∃ máximo; M ′′(18) = 36 > 0 ∃ mínimo
si x = 6 ⇒ y = 12
2) Se dispone de una lámina de cartón cuadrada de 12 cm. de lado. Cortando cuadrados
iguales en las esquinas se construye una caja abierta doblando los laterales. Hallar las
dimensiones de los cuadros cortados para que el volumen sea máximo.
Volumen de la caja = v = (12 − 2 x )(12 − 2 x )( x ) ⇒ v = x (12 − 2 x )
2
v( x) = x (12 − 2 x ) ⇒ v′( x) = 12( x − 2)( x − 6)
2
si : v′( x) = 0 ⇒ 12(x − 2)( x − 6) = 0 ⇒ x = 2; x = 6(v.c.)
v′′( x) = 24( x − 4) ⇒ v′′(2) = −48 < 0 ∃ máximo; v′′(6) = 48 ∃ mínimo
NOTA: Por la naturaleza del problema, se ve que x no puede valer 6 cm. Porque el
volumen sería 0, por lo tanto x = 2 cm.
3) ¿Cuál será la forma rectangular de un campo de área dada igual a 36 Dm 2 para que sea cercado por una valla de longitud mínima?
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Según el enunciado, área = x . y ; x . y = 36
Mínimo = 2 x + 2 y ; Min = 2 x + 2 y ...
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