Abel y La Quintica

Historias de Matemáticas Abel y la imposibilidad de resolver la “quíntica” por radicales
José Manuel Sánchez Muñoz
Revista de Investigación

ISSN 2174-0410

1 de octubre de 2011
Resumen Este artículo ofrece en su última sección, una traducción comentada de la memoria que Niels Henrik Abel publicó en 1824, para demostrar la imposibilidad de resolver la ecuación de quinto grado medianteradicales (Teorema de Abel-Ruffini). Además se ofrece una visión general de las dificultades que debió sufrir a lo largo de su vida, anhelando siempre un puesto de privilegio entre la comunidad científica de su tiempo, que sistemáticamente le negó el lugar que la historia de la matemática acabó reservándole. Palabras Clave: Abel, Quíntica, ecuaciones algebraicas, método de los radicales.

1.Introducción
A lo largo de la historia, fueron muchos los que intentaron resolver las ecuaciones de grado cinco y superior por métodos de radicales, al igual que se había llegado previamente a esta solución para la cuadrática, cúbica y bicuadrática. Pero todos y cada uno de ellos lamentablemente desconocían que este logro era imposible de lograr. Ya Carl Friedrich Gauss (1777-1855) en su DisquisitionesArithmeticae (1799) había “intuido” esta posibilidad, aunque no ofreció demostración alguna. Haciendo uso de los trabajos sobre “permutaciones” de Joseph Louis Lagrange ( 1736-1813), Paolo Ruffini (1765-1822), fue el primero en acertar con la estrategia utilizada para demostrar que las ecuaciones polinómicas de grado superior al cuarto son irresolubles por radicales, problema que permanecía abiertodesde el siglo XVI y que sería finalmente resuelto por

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José Manuel Sánchez Muñoz

el francés “alma gemela”1 de Abel, Evariste Galois (1811-1832). Lamentablemente el trabajo de Ruffini no fue del todo aceptado por los matemáticos del momento, quizás debido a la todavía “en pañales” teoría de laspermutaciones de Lagrange o quizás por la negación a la aceptación de la imposibilidad de resolver algunas ecuaciones mediante radicales. El caso es que estudios posteriores confirmaron que había una pequeña laguna en los trabajos de Ruffini, lo que hacía de su demostración insuficiente. El ataque definitivo del problema se llevaría a cabo desde las gélidas tierras noruegas, donde el joven matemático Abel(con tan sólo 21 años) demostraría definitivamente esta imposibilidad de resolver la ecuación de grado cinco por métodos radicales, y lo que resulta evidente debido al aislamiento de Noruega a principios del siglo XIX, de forma independiente a los resultados obtenidos por Ruffini. Abel basó principalmente su estrategia y esfuerzos en los resultados sobre permutaciones obtenidos por Lagrange y poruna figura admirada y a la vez en cierto modo odiada (más adelante en la breve biografía de Abel el lector sabrá por qué digo esto) como Augustin Louis Cauchy (1789-1857). Cabe destacar que el trabajo en cuestión de Cauchy sobre permutaciones (1815) estaba basado fundamentalmente en los trabajos de Ruffini, sin embargo éste le fue ajeno a Abel, quien desconocía en 1824, año en el que preparó sumemoria, los trabajos del ilustre italiano.

2. Niels Henrik Abel (1802-1829)
Sobre la vida y obra de Niels Henrik Abel se ha escrito una gran cantidad de bibliografía. Casi toda, por no decir la totalidad, coincide en una misma afirmación, que Abel ha sido el matemático escandinavo más brillante de la historia. Su vida presenta todos los ingredientes de un melodrama; la pobreza de un genio que muereconsumido en su barrio natal, mientras que egoístas académicos le niegan un lugar privilegiado entre ellos que tanto necesitaba y merecía. Desafortunadamente, estos mismos académicos sólo fueron capaces de rectificar la injusticia cometida con él cuando ya era demasiado tarde, el cuerpo y el genio de Abel se habían ido apagando poco a poco, víctimas de la incomprensión y la tuberculosis....