Aberraciones

Óptica Avanzada
Maestría en Optoelectrónica

Segundo cuatrimestre 2003

PRINCIPIO DE FERMAT
En el 1600 Snell, basándose en experimentos, da la ley de refracción, no expresada como
n1 sin i = n2 sin i ′ , sino expresada como relación entre distancias. Fue Descartes el que poco
tiempo después le dio la forma actual (aunque consideraba a la luz como una presión) y luego la
rescribió Newton (comopartículas) aunque ambos consideraban que la luz se movía más
rápidamente en medios más densos (lo cual no es cierto). El Principio de Fermat (1657) resulta
de la búsqueda de un principio teórico general que permitiera describir el fenómeno de la
refracción. Fermat se basó en las ideas de Herón de Alejandría (siglo I). Herón había explicado
que el camino que recorría la luz al reflejarse era máscorto si los ángulos de incidencia y
reflexión eran iguales. No está claro si en su concepción se refiere a un mínimo de tiempo, de
espacio o de ambos. Fermat ensayó un método análogo para el estudio de la refracción.
Como la naturaleza de la luz se dirige en línea
recta de S a P, hay que encontrar un punto M
por el cual la luz se doble o refracte llegando
en un tiempo más corto de S a P. Y pues esprobable que la Naturaleza, a la cual sus
operaciones urgen lo más pronto posible, se
orientará espontáneamente hacia ese punto”
Así se obtiene la ley de refracción, pero a diferencia de Newton y Descartes, Fermat
asume que en el medio menos denso la luz se mueve con mayor velocidad.
El Principio de Fermat es de significancia filosófica inmensa, y como parece que implica
una manera teleológica deexplicación (i.e. de fines) ajena a las ciencias naturales, llevó a grandes
controversias.
Este principio puede expresarse de otra manera : si la luz recorre en un medio el camino d,
en vacío debe recorrer en el mismo tiempo un camino d0. A este camino se lo llama (siguiendo a

Huygens) camino óptico ⇒ d0= n d, donde n es el índice de refracción para el medio respecto
del vacío. Así la luz recorreel camino óptico mínimo Llamaremos
camino óptico = ∆ = Σni di y en el caso en que el índice sea una función de la posición n(x,y,z)
∆ = ∫ n( x , y , z )ds
Apliquemos el Principio de Fermat así enunciado a la reflexión en la superficie de
separación de dos medios de índices de refracción n1 y n 2.
Sin pérdida de generalidad, podemos considerar
que la luz irá de S hasta P reflejándose en el
plano xzen el punto M, y que S está sobre el eje
y y P en el plano xy. De esta manera los puntos
estarán dados por S=(0, yS ,0) ; P=(xP, yP, 0) ;
M= (x, 0, z).
El camino óptico resultante para ir de S a P reflejándose en M es :
2
2
∆ = n SM + n MP = n x 2 + y S + z 2 + n ( x − x P ) 2 + y P + z 2

Busquemos por ahora el mínimo de ∆. I.e. debemos hacer

∂∆
2z
2z
1
1
= n 2
+2
2
2
2
2
∂z
 x + yS + z
(x −x p )2 + yP + z 2


∂∆ ∂∆
y
∂x
∂z


=0



De esta ecuación surge la primera Ley de Reflexión : El rayo incidente y el reflejado
están en el mismo plano.

∂∆
2( x − x P )
2x
1
1
= n 2
+2
2
2
∂x
 x 2 + yS + z 2
(x − x p )2 + yP + z2



=0


1

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Segundo cuatrimestre 2003

Reemplazando z=0 en esta ecuación se obtiene :
x
2
x 2 + yS

=−

(x − xP)
(x − x p )2 + y2
P

sin i = - (-sin i’)

que es la segunda ley de reflexión : El ángulo de incidencia y reflexión son iguales.
Hemos deducido la ley de reflexión de un espejo plano a partir del mínimo de camino
óptico. Sin embargo es fácil ver que no siempre el camino óptico es mínimo. A veces es máximo
∂∆
y a veces no es máximo ni mínimo (pero no adopta cualquier valor). Veamos. Al decir
= 0,∂x
hallamos un valor de x para el cual la función ∆ toma un valor estacionario, i.e. máximo, mínimo
o punto de inflexión ⇒ en su forma moderna, el Principio de Fermat dice
Al ir un rayo de luz del punto S al P, debe recorrer un camino óptico que es estacionario
Es decir :
La trayectoria verdadera será igual, en primera aproximación, a las trayectorias adyacentes a ella.
Supongamos que en un...