Abogada

CURSO BÁSICO DE MATEMÁTICAS PARA ESTUDIANTES DE ECONÓMICAS Y EMPRESARIALES
Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

EJERCICIOS RESUELTOS DE SISTEMAS DE ECUACIONES
⎧ x2 + y = 2
⎪
1. Resolver por el método de sustitución el sistema ⎨
⎪2 x − y + 3 = 0
⎩

y comprobar gráficamentela

solución obtenida.
Solución
En primer lugar, despejamos la incógnita y de la segunda ecuación quedando y = 2 x + 3
Se sustituye en la primera ecuación obteniendo x 2 + 2 x + 3 = 2 , que es una ecuación con una
incógnita y resolviendo esta ecuación queda:

x2 + 2 x + 1 = 0 ⇔ (x + 1)2 = 0 ⇔ x = -1.
Sustituyendo este valor de x en y = 2 x + 3 , se obtiene y = -2+3 = 1
Por tanto, lasolución del sistema es (-1, 1).
Para comprobar gráficamente la solución se representa los conjuntos de soluciones, S1 y S2 , de cada
una de las ecuaciones.
Para dibujar S1 despejamos y de la primera ecuación obteniendo y = 2 − x 2 que es la parábola de
eje OY con vértice el punto (0, 2) que se muestra en el dibujo.
Para calcular S2 despejamos y de la segunda ecuación obteniendo la recta y = 2 x +3 que pasa por
los puntos (0, 3) y (-2, -1).
Dibujando ambas gráficas se observa que el único punto en el que se cortan es el (-1, 1), que es la
solución del sistema que se ha obtenido anteriormente por sustitución.

Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemasde ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

⎧5 e x + y 2 = 5
⎪
por el método de reducción.
2. Resolver el sistema ⎨
⎪e x − y = 1
⎩
Solución

Para obtener una ecuación sin la incógnita x se multiplica la segunda ecuación por -5 quedando el
⎧5 e x + y 2 = 5
⎪
y sumando las dos ecuaciones queda y 2 + 5y = 0
sistema ⎨
x
⎪−5e + 5y = −5⎩
Sustituyendo la primera ecuación del sistema dado por

y 2 + 5y = 0

se obtiene el sistema

2

⎧y + 5y = 0
⎪
equivalente ⎨
⎪e x − y = 1
⎩

Sacando factor común y de la primera ecuación obtenemos y(y+5)= 0 de donde, y = 0 , y = -5
Sustituyendo estos valores en la segunda ecuación queda:
y = 0 ⇒ ex = 1 ⇒ x = 0

y = -5 ⇒ e x + 5 = 1 ⇒ e x = −4 , ecuación que no tiene soluciónLuego la solución del sistema es (0, 0).

⎧−2 x + y = 3
3. Resolver el sistema ⎨
por el método de igualación
⎩6 x − 2y = 10

Solución

Se despeja una de las incógnitas, por ejemplo la y, de las dos ecuaciones quedando
⎧y = 3 + 2 x
⎪
de donde igualando los dos miembros queda 3 + 2x = 3x – 5
⎨
6 x − 10
= 3x − 5
⎪y =
⎩
2
Despejando x de esta igualdad se tiene x = 8
sustituyéndoloen y = 3 + 2x se obtiene y = 3 + 2.8 =19
Por tanto, la solución del sistema es (8, 19).

⎧2 x + y + z = 1
⎪
4. Resolver el sistema ⎨3x − y + z = 0 por el método de sustitución.
⎪2y + 3z = 3
⎩

Solución

Para buscar su solución por el método de sustitución se elige una incógnita para despejarla, en este
3 − 3z
caso se despeja y de la tercera ecuación quedando y =
2
Sustituyendo estaexpresión en la primera y segunda ecuación se obtiene:

Proyecto de innovación ARAGÓN TRES

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Unidad didáctica 2. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas de ecuaciones y de inecuaciones

Autoras: Gloria Jarne, Esperanza Minguillón, Trinidad Zabal

2x +

3 − 3z
+z =1
2

3x −

3 − 3z
+z =0
2

⎧4 x − z =−1
operando se tiene el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ⎨
⎩6 x + 5z = 3
Despejando z de la primera ecuación se obtiene z = 4 x + 1 y sustituyendo z en la segunda queda 6x
−2 −1
=
+ 20x + 5 = 3, es decir, 26x = -2, cuya solución es x =
26 13
9
Al sustituir este valor en z = 4 x + 1 queda z =
13
y al sustituir este en y =

6
3 − 3z
se obtiene y =
13
2

Luego la...