Abracadabra

EJEMPLO 1 (Circuito RLC en serie en corriente continua)
Teoría
Un circuito RLC esta compuesto por una resistencia, una bobina y un condensador. La resistencia representa la oposición al paso de corriente, la bobina el retardo en el cambio de velocidad y el condensador la acumulación de la carga.
El circuito RLC en corriente continua esta conectado a una fuente de alimentación que proporcionaal circuito una tensión constante en el tiempo. Vamos a calcular las tensiones e intensidades del circuito mediante las siguientes formulas:
V_R=i(t)∙R
V_R=L∙di(t)/dt
V_C=1/C∙∫▒i(t) dti(t)=C∙(dV_C (t))/dt
Al ser la tensión constante en el tiempo, la tensión de inductancia será nula, ya que la derivada de una constante dará siempre 0.
La segunda ley de Kirchhoff nos dice lo siguiente: “Lasuma de voltajes en una malla cerrada es igual a cero”, por lo que :
v(t)=V_R+V_L+V_Cv(t)=Ri(t)+L∙di(t)⁄dt+1/C ∫▒i(t)dt
La ecuación es una ecuación integro-diferencial, y para resolverla derivaremos v(t), consiguiendo una ecuación diferencial homogénea de segundo orden:
0=L∙(d^2 i(t))/〖dt〗^2 +R∙di(t)/dt+i(t)/C
El voltaje total ha desaparecido porque al tratarse de una fuente de voltajeconstante, la derivada es nula.
Lo resolveremos mediante el método de la resolución de EDLH de coeficientes constantes. Se basa en que las soluciones son de la forma e^mx.
Determinamos los m valores obtenidos de las “n” funciones independientes; en este caso como es de segundo orden obtendremos 2 valores para m. P(m) será el polinomio, ecuación característica de la EDLH de donde sacaremos el valor delas m.
Ejercicio
Tenemos un circuito RLC con las siguientes cargas:
L=4 [H] R=4 [] C=1 [F] V=120 [v]
La ecuación diferencial homogénea de segundo orden quedara así:
4∙ (d^2 i)/〖dt〗^2 +4∙di/dt+i/1=0
p(m) tendrá la siguiente forma:
p(m)=4m^2+4"m"+1
De aquí lograremos las siguientes raíces: 4(m+0,5)^2
La ecuación i(t) tomara la siguiente forma, que será la solución generalde la homogénea:
〖i(t)〗_GH=C_1 "∙" e^(-0",5x" )+C_2 x∙e^(-0",5x" )





















Ejemplo 2 (Ley de enfriamiento de Newton)
Teoría
La ley de enfriamiento de Newton dice que cuando la diferencia de temperaturas entre un cuerpo y su medio ambiente no es demasiado grande, el calor transferido por unidad de tiempo hacia o desde el cuerpo es aproximadamente proporcionala la diferencia de temperaturas entre el cuerpo y el medio externo. Esto solo se cumple siempre y cuando el medio ambiente mantenga su temperatura constante durante dicho proceso.
Para demostrar esta teoría Isaac Newton realizo un sencillo experimento:
Calentó al rojo vivo un bloque de hierro en un pequeño horno de carbón, y al retirarlo lo colocó en un lugar frio y se dedicó a ver como seenfriaba. Las conclusiones que sacó acerca del ritmo al que se enfriaba le llevaron a enunciar la ley de enfriamiento de Newton.
La ley de enfriamiento de Newton se escribe de la siguiente forma:
dT/dt=-"k" (T-T_m )
En donde:
T = Temperatura del cuerpo.
Tm = Temperatura del medio ambiente.
t = Tiempo.
k = Constante de proporcionalidad llamada parámetro de enfriamiento.
Esta ecuación es unasencilla ecuación diferencial de variables separadas, ya que al manipularla quedará así:
dT/(T-T_m )=-k∙dt
La resolveremos de la siguiente forma:
∫▒dT/(T-T_m )=-"k" ∫▒dt
"ln" (T-T_m )=-"k" t+C
T-T_m=e^(-kt+C)
T-T_m=C∙e^(-kt)
T=T_m+C∙e^(-kt)

Ejercicio
Tenemos un termómetro con una temperatura indeterminada; lo sacamos a la terraza en donde temperatura ambiente es 15ºC. Al cabo de un minutola temperatura del cuerpo es de 60ºC, y al cabo de otro minuto de 47ºC. Cual es la temperatura del termómetro al sacarlo a la terraza?
Vamos a basarnos en la ley de enfriamiento de Newton:
T=T_m+C∙e^(-kt)
Lograremos un sistema de ecuaciones:
T(1)=60=15+C∙e^(-k)C∙e^(-k)=45
T(2)=47=15+C∙e^(-2k)C∙e^(-2k)=32
e^(-k)=0",71" C=63"," 28
De aquí lograremos el valor de T(0):
T(0)=15+63"," 28∙e^0...