abstracta

Páginas: 108 (26900 palabras) Publicado: 26 de agosto de 2015
´
Notas para un curso de Algebra
Abstracta I
Camilo Sanabria y Mario Valencia-Pabon
Universidad de los Andes
Departamento de Matem´aticas
Bogot´a - Colombia.

II

´Indice general
1. Grupos
1.1. Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Subgrupos . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Tabla de operaci´
on . . . . . . . . . . .
1.4. Grupos C´ıclicos . . . . . . . . . . . . .
1.5. Gruposgenerados y producto directo .
1.6. Grupos de permutaciones . . . . . . .
1.7. Coconjuntos y el Teorema de Lagrange

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2. Homomorfismos
2.1. Homomorfismos . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Propiedades de Homomorfismos . . . . . .
2.3. Subgrupos normales . . . . . . . . . . . .
2.4. Isomorfismos y el Teorema de Cayley . . .
2.5. Grupo Factor . . . . . . . . . . . . . . . .2.6. Teorema Fundamental del Homomorfismo
2.7. C´
alculo de Grupo Factor . . . . . . . . . .
2.8. Grupos simples . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. El centro y el conmutador . . . . . . . . .
2.10. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Conjugaci´
on
33
3.1. Elementos ysubgrupos conjugados . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.2. An para n ≥ 5 es simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4. Acci´
on de grupo sobre un conjunto
4.1. G-conjuntos . . . . . . . . . . . . .
4.2. Subgrupo estabilizador y o
´rbitas .
4.3. La f´
ormula de Burnside . . . . . .
4.4. Ejercicios. . . . . . . . . . . . . .

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IV

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INDICE GENERAL

5. Teoremas de Isomorfismos y Series de Grupos
5.1. Teoremas de Isomorfismos . . . . . . . . . . . .
5.2. Series de Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Cadena CentralAscendente . . . . . . . . . . .
5.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6. Teoremas de Sylow y Grupos libres
6.1. Teoremas de Sylow . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Aplicaciones de la teor´ıa de Sylow . . . . . .
6.3. Grupos abelianos libres . . . . . . . . . . . .
6.4.Teorema fundamental de los grupos abelianos
6.5. Grupos libres y representaciones . . . . . . .
6.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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´Indice de figuras
1.1. Subgrupos de Z8 y de Z12 . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . .
1.2. transformaciones del cuadrado . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. ret´ıculo de subgrupos de D4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7
14
15

2.1. Fibras y Kernel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Teorema Fundamental del Homomorfismo . . . . . . . . . . . . .

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4.1. Rotaciones del cubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

415.1.
5.2.
5.3.
5.4.

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46
47

6.1. Grupo abeliano libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Grupo libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57
63

Primer Teorema de Isomorfismo .
Tercer Teorema de Isomorfismo .
Lema de la Mariposa . . . . . . .
Teorema de Schreier . . . . . . .

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