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ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

ECUACIONES

ECUACIONES
1.

ECUACIONES LINEALES

1.1

Concepto de igualdad.

1º.

Si al seleccionar dos conjuntos se encuentra que tienen los mismos elementos, estos
conjuntos son iguales.

a

a

b

b

c

c

A

B

Para presentar la igualdad se utiliza el símbolo = por lo que A = B
2º.

Si se tienen los sumandos S1, y S2 y alefectuar la suma de ellos se encuentra el mismo
resultado, se tendrá que: S1 = S2
De lo anterior, cuando al comparar dos objetos existe una correspondencia de igualdad uno
a uno, se dice que los dos objetos son idénticos, y cuando solamente después de una
reducción se ve que son las mismas cantidades, entonces son equivalentes.
Por lo tanto:
A =B

Es una igualdad por identidad.

S1 = S2

Esuna igualdad por equivalencia.

En la igualdad: a + b = c + d se tiene:
a+b

será el primer miembro de la igualdad.

=

signo de igualdad.

c+d

será el segundo miembro de la igualdad.

1.2

Propiedades de la igualdad.

1º.

Se pueden intercambiar los miembros de una igualdad sin que se altere.
Si A = B entonces B = A

2º.

Si una cantidad es igual a otra y ésta a su vezes igual a una tercera, la primera es igual a la
tercera.
Si: A = B y B = C entonces A = C

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

5-1

ÁLGEBRA: NIVEL MEDIO SUPERIOR

3º.

ECUACIONES

Propiedad fundamental. Una igualdad no se altera si a sus dos miembros se le suma o se
le resta una misma cantidad de la misma manera, no se altera si a sus dosmiembros se
multiplican por o se dividen entre una misma cantidad o expresión, siempre que esta no
contenga incógnitas, porque en caso contrario cambia el grado y el número de soluciones.
Podemos elevar a una misma potencia los dos miembros de una igualdad o extraerles una
misma raíz sin que se altere teniendo cuidado de hacerlo especialmente cuando algún
radical afecte a la incógnita
Sea a= b, entonces:
a+m=b+m
a–n=b–n
a (k) = b (k)
a

=

p
a
n

1.3

n

a

b
p

=b

sumando una cantidad m
restando una cantidad n
multiplicando por una cantidad k

;p ≠ 0

dividiendo entre una cantidad p

n

elevando a una misma potencia n

=nb

extrayendo una misma raíz n

Reglas para despejar literales en una igualdad.

Primera.

Si un término se encuentrasumando en un miembro este puede pasar restando al
otro miembro y viceversa
Es decir si: a - b + c = d, al despejar a:
a=d+b-c

Segunda.

Si un factor se encuentra multiplicando a todo un miembro, éste pasa dividiendo al
otro miembro y viceversa
Sea ax = b ; despejar x; x =

Sea

b
a

Tercera.

b
a

= x : despejar b ; b = ax

Si una cantidad entera positiva está comopotencia de todo el miembro, pasa como
índice de raíz afectando a todos los términos del segundo miembro y viceversa.
Sea. y 4 = 4px , despejando a y: y = 4 4px
Sea.

3

y = x − 3 , despejando a y; y = (x − 3)

AUTOR: PROFESOR JESÚS INFANTE MURILLO
EDICIÓN: PROFESOR PABLO FUENTES RAMOS

3

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1.4

ECUACIONES

Ecuaciones e identidades.

Lasigualdades entre dos expresiones algebraicas se clasifican en: identidades y
ecuaciones.
Identidad.

Es una igualdad que se verifica para cualquier valor que se le de a las literales que
entran en ella.
Por ejemplo: La igualdad (a + 1) 2 = a 2 + 2a + 1 es una identidad, porque se satisface
para todo valor a.
Si, a = 4; tenemos:
2

2

(4 + 1) = (4) + 2(4) + 1
2

(5) = 16 + 8 + 1
25 = 25Ecuación.

En general una ecuación es toda igualdad que contiene elementos conocidos,
comúnmente llamados datos o constantes y elementos desconocidos denominados
incógnitas y que sólo se verifica o es verdadera para ciertos valores de las
incógnitas que entran en ella.
Por ejemplo:
b + 2 = 5: Es una ecuación porque solo se satisface para: b = 3
La igualdad 5x + 2 = 17. es una ecuación...