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Cálculo de Variables
En un problema de optimización estática el objetivo es hallar el valor de una variable que maximice una cierta función, es decir:


si dicha función es continuamente diferenciable se verificará que F’(x*)=0 donde x* es un valor que maximiza F.
Una generalización hacia un problema de múltiples periodos discretos involucra la elección de ciertas cantidades xtSiguiendo con el supuesto de que F es continuamente diferenciable se tendrán las siguientes condiciones necesarias de primer orden:

De donde emerge claramente que dicho sistema de ecuaciones no denota ningún tipo de interdependencias por lo que cada ecuación puede ser resuelta independientemente de las demás. De esta manera, el problema es trivial y no marca ningún tipo de dinámica en la elección delas variables. Obsérvese como estas reglas algebraicas coinciden con las reflexiones hechas en párrafos anteriores.
El problema se transforma verdaderamente dinámico cuando las decisiones presentes no solo afectan este instante si no también el futuro venidero. Algebraicamente sería el caso de:



luego las condiciones de primer orden serán:

(d)
Notamos como elvalor de x0 debe ser fijado de antemano para determinar el valor de x1. Se aprecia con nitidez la interdependencia del sistema periodo a periodo. Las variables no pueden elegirse independientemente una de otras. Estamos pues frente a un problema de optimización dinámico.

Para generalizar los problemas (c) y (d) al caso de horizonte de planeación continúo se deben hacer algunas consideracionesprevias:
Primero téngase presente que el análogo continuo a la sumatoria es una integral y en segundo lugar que la solución óptima será una función continua de t, x(t), en remplazo de la secuencia de valores anterior:

Al igual que en (c) el mismo resulta ser no dinámico dado que el integrando solo depende de las elecciones contemporáneas de x. Para lograr el equivalente dinámico de un problemaen horizonte temporal continuo, se debe hacer aparecer una derivada de la variable de elección en el integrando. Dicho dependencia de la tasa de crecimiento es el puente que comunica íntertemporalmente las decisiones tomadas transmitiendo así dinámica al sistema continuo.

1. CONDICIONES DE PRIMER ORDEN: LA ECUACION DE EULER
Cuando se optimiza una función de una variable (h(x)), sinrestricciones, un determinado punto constituye un máximo o mínimo, cuando la derivada de la función se iguala a cero (h’(x) = 0). Esta condición permite discriminar de un conjunto amplio de puntos, aquel que posiblemente logre optimizar a la función objetivo. En el cálculo de variaciones se aplica el mismo concepto. De un extenso conjunto de curvas (y(t)), es necesario escoger aquella que maximice o minimicela función.
A la condición que permite seleccionar la curva optima se le denomina “Ecuación de Euler”.
La función debe satisfacer la siguiente ecuación:
∂f/∂y= d/dt[∂f/∂y']
fy= d/dt fy'
En esta parte, se aplica tanto las derivadas de primer y segundo orden, ya que con ellas obtendremos expresiones puntuales que nos ayudaran a encontrar la trayectoria óptima.
2. CONDICIONES DE SEGUNDO ORDENEn problemas de optimización una función f(x) dos veces continuamente diferenciable en una simple variable sobre un intervalo abierto, es conocido que si x* maximiza f es necesario que f’(x*)=0 y f’’(x*) ≤ 0. A su vez si x* satisface f’(x*) = 0 y f’’(x*) < 0, entonces x* brinda un máximo local para f. De manera análoga, en los problemas de cálculo de variaciones se pueden deducir condicionesnecesarias y suficientes para máximos locales de los funcionales.

Ésta expresión es usualmente llamada primera variación. El requerimiento que la misma sea cero cuando se la evalúa en el camino óptimo conduce a la ecuación de Euler.
En semejanza a la derivada segunda es posible obtener la variación segunda de g de la siguiente manera:


Condición Suficiente: Si x*(t) satisface la Ecuación de...