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Métodos de un sólo paso:
Método de Euler o método de tangentes
y'=fx,y;yx0=y0Usa el hecho que la derivada de una función y(x), elevada en un punto x0 , es la pendiente de la tangente a lagráfica y(X) en este punto. Como el problema con condición inicial indica un valor de derivada de la solución (x0,y0), la pendiente será f(x0,y0). De este modo, si tomamos una distancia muy pequeña en lalínea tangente obtenemos un estimado de un punto cercano a la curva de solución. Este proceso se repite. Se usa la linealización Lx=y'x0x-x0+y0De la función yxen el punto x=x0. Al graficar está fórmulase obtiene una recta pendiente a y=yxen . Luego, h se define como un aumento de magnitud positiva en el eje x. Reemplazamos x con x1=x0+h de tal forma obtenemos:Lx1=y'x0x0+h-x0+y0=y0+hy0→y1=y0+hf(x0,y0)Con y0'=y'x0=f(x0,y0) y y1=L1(x). El punto x1,y1) sobre la curva tangente será entonces una aproximación a (x1,y(x1)) en la curva de solución. En este caso Lx1≅yx1, o y1≅y(x1) una aproximaciónlineal local de la función y(x) en x1. La precisión de la aproximación está definida por el tamaño del incremento h. Generalmente, se escoge una magnitud de paso lo suficientemente pequeña. Sirepetimos este procedimiento con un nuevo punto de partida (x1,y1) , obtenemos:
yx2=yx0+2h=yx1+h=yx1+h≅y2=y1+hf(x1,y1)Como consecuencia general
yn+1=yn+hf(xn,yn)Donde xn=x0+nh. Luego se realiza un procesode iteración.
Método de Euler mejorado o método de HeunEs más exacta que la de Euler
yn+1=yn+hfxn,yn+fxn+1,yn+1*2 Con yn+1*=yn+hf(xn,yn)Y se calcula yn+1* con el método de Euler.
Métodos deRunge-KuttaUsado para obtener soluciones a la problema de valor inicial de primer orden y'=fx,y. yx0=y0.
Son generalizaciones de la formula básica de Euler en las cuales la función pendiente esreemplazada por el promedio ponderado de pendientes sobre el intervalo xn≤x≤xn+1.
yn+1=yn+h(w1k1+w2k2+…+wmkm)En esta fórmula los ponderados wi, i=1,2,…, m, son constantes que por lo regular satisfacen...