ACCESOSmatematicos

CAPÍTULO 1

LÍMITES

1.1 CONCEPTO INTUITIVO
Supóngase que se tiene una función cualquiera, por ejemplo, y = x2 + x , a la cual se le da
un valor arbitrario a la variable independiente x , tal como x = 3.9. Entonces a la variable dependiente y le corresponde el valor de
y = 3.92 + 3.9 = 19.11
En seguida se le da un nuevo valor a la variable x , por ejemplo de x = 3. 99, con lo que
lecorresponde a la variable y un valor de
y = 3.992 + 3.99 = 19.9101
El proceso se continúa, registrando los valores en una tabla como la siguiente:
x

3.9

3.99

3.999

3.9999

y

19.11

19.9101

19.991001

19.99910001

Hasta aquí una calculadora muestra en la pantalla el valor de y en forma exacta, pero si
se pretende obtenerlo para el siguiente valor de x , es decir, para x =3.99999, como el correspondiente valor de la variable y consta de 12 dígitos y la pantalla de la calculadora no tiene ca-

1

Límites

pacidad para mostrar tantos dígitos, redondea al final y eso no sirve para los efectos que se persiguen en este estudio introductorio del concepto de límites, sino que se requieren valores exactos
con todos los decimales que les corresponden. Sin embargo,al observar los sucesivos valores de
la variable y en la tabla, se puede deducir fácilmente una regla de formación de cada uno de
ellos:
a)
b)

todos comienzan con 19;
entre el punto decimal y el primer 1 van tantos nueves, menos uno, como los tiene la
variable x en su parte decimal;
entre cada uno de los dos unos van tantos ceros, menos uno, como nueves tiene la
variable x en su partedecimal.

c)

De manera que se puede ampliar la tabla anterior de esta forma:
x

3.9

3.99

3.999

3.9999999999

y

19.11

19.9101

19.991001

19.99999999910000000001

etc.

Se ha colocado un etcétera al final de la tabla para dar a entender que el proceso no está acabado, sino que puede continuar indefinidamente, esto es que en un momento dado se puede tener
que x =3.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999999 con lo que
corresponde ya a la imaginación, valga la redundancia, imaginar el valor que le corresponderá a la
variable y , y más y más nueves sin que acabe nunca el proceso.
Se observa entonces que ambas variables se acercan cada vez más a un valor en concreto:
la x se aproxima a 4 mientras que la y tiende a 20. Esa es la idea de unlímite, referida siempre a
la variable dependiente, es decir, se dice que el límite de y es 20 cuando x se aproxima a 4.
Lo anterior se escribe:

lim y = 20
x→4

2

Límites

Es importante tener en cuenta que la anterior igualdad no significa que la y valga 20, sino
el límite y que el valor de cualquier límite es el valor al que tiende o se acerca dicha variable. Además, que todo límitetiene una condicionante. En el caso anterior, la condicionante es que la variable
x tienda a 4. Dicho con otras palabras, el límite de y es 20 (se acerca a 20) bajo la condición de que
la x se esté aproximando más y más a 4. Finalmente, en el ejemplo anterior, para escribir todo con
la misma variable, como y = x 2 + x , el límite se escribirá de la siguiente manera:

lim ( x 2 + x ) = 20
x →4y significa que la función x2 + x se está acercando al valor de 20 conforme la variable x tiende o
se aproxima a 4.
En este momento a más de un estudiante ya se le habrá ocurrido que si la variable x se hizo
tender al valor de 4 por la izquierda, también se pudo hacer por la derecha. Esto significa que se
puede aproximar al valor de 4 viniendo de valores más pequeños haciéndolos crecerlentamente,
como lo era el 3.999 , como también viniendo de valores un poco mayores haciéndolos disminuir,
como por ejemplo 4.0001.

3.9

3.99

4

4.01

4.1

figura 1.1

Efectivamente, no importa por qué lado se haga la aproximación de x al valor de 4, la función x 2 + x de todos modos se acercará a 20, como lo muestra la siguiente tabla, construida bajo
el mismo modelo de la...