acción deformación

5. ACCIÓN-DEFORMACIÓN

1

Objetivos
• Determinar la relación que existe entre las fuerzas básicas y las
deformaciones básicas para un elemento tipo marco (acción-deformación).

• Calcular la matriz de flexibilidad y la matriz de rigidez para un elemento tipo
marco en coordenadas básicas.

• Calcular la matriz de flexibilidad y la matriz de rigidez para un elemento tipo
marco encoordenadas locales y globales.
• Determinar la ecuación de acción-deformación para una estructura.
• Obtener la geometría de colapso de una estructura usando cinemática y
conceptos de acción-deformación.

2

Acción-Deformación en Elemento tipo Marco
Convención de signos para esfuerzos internos.

Equilibrio

M ( x  x)

M (x)
V (x) dx

2M
 wy ( x )  0
x 2

wx (x)

wy (x)N (x)

V ( x  x)

dx

N ( x  x)

N
 wx ( x)  0
x

La relación acción-deformación se obtiene usando las fuerzas y deformaciones básicas.

q2 v2

q3 v3

x

q v
1

1

q2

Estructura Real

q1

 1
0
 N ( x)  
x   0  x  1
s ( x)  

x 

 M ( x) q2  L  1  q3 L    L 


 
  

q3

q1

x
Estructura virtual

0  q1 
x    q2 
 
L  q 
  3

s( x)  b( x)  q

b(x) representa la función de interpolación de las fuerzas. Es una matriz de equilibrio entre las fuerzas básicas
q y los esfuerzos internos s(x). Cuando existen fuerzas externas aplicadas en el elemento, la ecuación de
equilibrio es:

s( x)  b( x)  q  sw ( x)
3

Usando el principio de fuerzas virtuales
c
c
Wext Wint

 N ( x) 

t

t

L

t

L

v   b ( x)e( x) dx
t



 EI ( x) 



q  v   s ( x)e( x) dx  q  b ( x)e( x) dx
t




1

 ( x)   EA( x)   EA( x)
e( x )  


 ( x)  M ( x)   0


  N ( x) 

1   M ( x) 


EI ( x) 

0

e( x)  f s ( x)s( x)  eo ( x)  f s ( x)b( x)q  sw ( x)  eo ( x)

L



v  bt ( x) f s ( x)b( x) dx  q   bt ( x) f s ( x) sw ( x) dx   bt ( x)eo ( x) dx
L
L
L


Deformaciones iniciales (temperatura,
fabricación, etc)

f matriz de flexibilidad del elemento

v  f  q  vw  vo

vw deformación debido a fuerzas externas en elemento
vo deformación debido deformaciones iniciales

Definiendo

 1
 EA( )
1 
f  L  0

0

 0




xL

Para elementos prismáticos con
inercia y área constante
0

(1   )(1   )
EI ( )
(1   )

EI ( )




(1   ) 

d
EI ( ) 



EI ( ) 
0

 L
 EA

f  0

 0



0
L
3EI
L

6 EI



L 


6 EI 
L 
3EI 

0

4

Usando la ecuación de acción-deformación

v  f  q  vw  vo
q  f 1 v  vw  vo 

q  k v  qw  qo

k matriz de rigidez básica del elemento
qw, qo momentos de empotramiento para cargas de
vano y deformaciones iniciales.

Para una sección prismática, la matriz de rigidez básica es:
30
 EA
 L

k  f 1   0

 0




0 
4 EI 2 EI 

25
L
L 
2 EI 4 EI 
L
L 

0

q3 v3

q2 v2

q v
1

1

20
Las columnas de la matriz de rigidezrepresentan las fuerzas necesarias para producir una deformación unitaria en
el GDL respectivo.
15

Para v2 =1



 q1   0 
4
q  10 EI 


2

 L 
 q3 
   2 EI 
 L 


5

4EI
L

v2  1

2EI
L

5

Si se incluyen las deformaciones por esfuerzo de corte, la matriz de rigidez básica es:
 EA

 L
k 0


 0



0
EI
L
EI
L

4 
1
2 

1 






2  

1  
4  


1  

0

EI
L
EI
L

q3

q2

G

Módulo de corte

A

Área de la sección

k

Factor de forma (depende de la sección).
K=1.2 para secciones rectangulares.

12 EIk

GAL2

 0

q
1

El elemento no tiene deformaciones por corte.

Para un elemento marco tridimensional, la matriz de rigidez...