ACM Tema 05A Trigonom

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Tema 5. Trigonometría y geometría del plano
1. Razones trigonométricas de un ángulo agudo
Dado un ángulo cualquiera, si desde un punto, A, de uno de
sus lados se traza su proyección, A´, sobre el otro lado se
obtiene un triángulo rectángulo. Esto permite definir las
razones trigonométricas seno, coseno y tangente, como
sigue:
ˆ = AA´= cateto opuesto
sen O
OA
hipotenusa
ˆ = OA´ = cateto contiguo
cos O
OA
hipotenusa
AA´
cateto
opuesto
ˆ =
=
tag O
OA ´ cateto contiguo
El ángulo O puede medirse en grados o en radianes. El
grado es una medida sexagesimal: un ángulo completo
(una vuelta completa) mide 360º. El radian es una medida
longitudinal, numérica real: un radian es un ángulo que
abarca un arco de longitud igual al radio conel que ha
sido trazado. La relación entre ambas unidades es 360º =
2π radianes → La circunferencia completa abarca 2π
radianes (tiene una longitud de 2π radios). Un ángulo –un
arco que se ha trazado con radio 1– mide 1 radian cuando su “longitud” es 1.
Las calculadoras disponen de las teclas DEG y RAD, para grados y radianes, respectivamente.
Ejemplos:
Utilizando las definiciones, para eltriángulo adjunto, se tiene:
ˆ = 3 = 0,6; cos A
ˆ = 4 = 0,8; tag A
ˆ = 3 = 0,75
sen A
5
5
4
Utilizando la calculadora (teclas sin, cos y tan) se tiene:
Modo DEG: sen 0º = 0; sen 20º = 0,3420; sen 30º = 0,5; cos 0º = 1; cos 20º = 0,9397;
cos 60º = 0,5; tag 0º = 0; tag 20º = 0,93640; tag 30º = 0,5774; tan 90º = Error
Modo RAD: sen 0 = 0; sen 0,2 = 0,1987; sen 1 = 0,8415; cos 0 = 1; cos 0,2 = 0,9801;
cos 1 =0,5403; tag 0 = 0; tag 0,2 = 0,2027; tag 0,4 = 0,4228; tag (π/2) = Error
Notas:
1. Cuando se use la calculadora debe comprobarse en qué modo (DEG o RAD) está.
2. Las abreviaturas sen, cos y tag, para seno coseno y tangente, respectivamente, pueden
sustituirse por sin, cos y tan.
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas de un ángulo
Como consecuencia de las definiciones, secumplen:
1
sen α
;
1 + tag 2 α =
sen 2 α + cos 2 α = 1 ; tag α =
cos α
cos 2 α
Por tanto, conociendo una cualquiera de las razones trigonométricas se pueden determinar las
demás.

José María Martínez Mediano

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Nota: Significado de algunas cuestiones de notación:
sen 2 α = (sen α) 2 = (sen α) · (sen α) ; cos 2 α = (cos α ) 2 ; tag 2 α = (tagα ) 2
sen α 2 = sen(α 2 ) = sen(α · α)
OJO: sen α · 2 = 2sen α = sen α + sen α ≠ sen (α · 2) = sen (2α ) = sen 2α = sen ( α + α)

Ejemplos: Aplicación de las relaciones anteriores para determinar las restantes razones
trigonométricas a partir de una de ellas.
Si se sabe que sen α = 0,8 → 0,82 + cos2 α = 1 ⇒ cos2 α = 0,36 → cos α = ±0,6.
0,8
El valor de tag α =
= ±1,33...
± 0,6
1
1
1
⇒ cos 2 α = ⇒cos α =
Si tag α = 2 ⇒ 1 + 2 2 =
5
cos 2 α
± 5
2
Como sen α = cos α · tag α ⇒ senα =
± 5
Nota: El doble signo de los resultados está relacionado con la periodicidad y con la simetría
de las funciones trigonométricas. A continuación se matiza este hecho.
2. Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera
Para definir las razones trigonométricas de un ángulo cualquiera suele
recurrirse a unacircunferencia centrada en el origen. El vértice de cada
ángulo se sitúa en el centro, siendo uno de sus lados el eje positivo
OX; los ángulos se consideran positivos si se miden en sentido inverso
al movimiento de las manecillas de un reloj, y negativos en el mismo
sentido de dicho movimiento. Se cumple que 360º – α = –α.

sen α =

y
→ si r = 1, sen α = y;
r

cos α =

x
→ si r = 1,
r

El seno de unángulo es positivo cuando mide entre 0º y 180º (primero y segundo
cuadrante); es negativo cuando está en los cuadrantes tercero y cuarto. Además:
sen α = sen (180º − α) = −sen (180º + α) = − sen (360º − α) = sen (–α)
Y en radianes: sen α = sen (π − α ) = −sen (π + α ) = −sen (2π − α ) = −sen α
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José María Martínez Mediano

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Ejemplos:...