Acm

Cap´ıtulo 5
An´
al. M´
ultiple de Correspondencias
5.1.

´
INTRODUCCION

El An´alisis M´ultiple de Correspondencias es una t´ecnica que estudia las relaciones entre las categor´ıas de Q variables cualitativas a
partir de una muestra de n individuos.
Si existe alguna variable cuantitativa, ´esta se puede transformar
en cualitativa, dividiendo su rango en intervalos homog´eneos. Cada intervaloser´a una categor´ıa de la nueva variable cualitativa.
5.2.

TABLAS DE DATOS

Tabla de datos inicial:
Ind.\ Var.
1
2
...
i
...
n

v1
v11
v21
...
vi1
...
vn1

v2
v12
v22
...
vi2
...
vn2

1

· · · vq
· · · v1q
· · · v2q
...
· · · viq
...
· · · vnq

· · · vQ
· · · v1Q
· · · v2Q
...
· · · viQ
...
· · · vnQ

2

Notaci´
on:
n n´um. individuos, I = {1, 2, . . . , n} ´ındices de los individuos
Q n´um.variables, Q = {1, 2, . . . , Q} ´ındices de las variables
pq n´umero de categor´ıas de la variable vq , q ∈ Q.
Matriz disyuntiva: KIJ = (kij )
Esta matriz se construye de la forma siguiente:
a) Para cada variable vq , se construyen tantas variables dummy
como categor´ıas de vq , es decir, se construyen pq variables binarias que ocupan pq columnas en la matriz KIJ .
b) Sea p =
ıas de las Q variables.
q∈Qpq el total de categor´
Reenumeramos las categor´ıas desde 1 hasta p y denotamos
por J = {1, . . . , p} al conjunto de todas las categor´ıas.
La matriz disyuntiva KIJ es
Ind.\ Categ.
1
2
...
n
Total

1
k11
k21
...
kn1
k+1

2
k12
k22
...
kn2
k+2

···
···
···
...
···
···

p Total
k1p
k2p
...
...
knp
k+p

donde, para el individuo i ∈ I y la categor´ıa j ∈ J ,
kij =

1 si el individuo i est´a en lacategor´ıa j
0 en otro caso

Llamamos Jq al conjunto de ´ındices de J asociados a las categor´ıas
de la variable vq , de manera que J = J1 ∪ J2 ∪ · · · ∪ JQ.
Ejemplo 5.1 Se dispone de los datos de n = 5 individuos en
Q = 2 variables cualitativas v1 y v2, cada una con p1 = p2 = 3
categor´ıas.

3

Ind.\ Var.
1
2
3
4
5

v1
1
1
2
1
3

v2
2
3
1
3
2

En este caso
J1 = {...

},

J2 = {...

}.

Construirla matriz disyuntiva KIJ :
J1
J2
−−− −−−
Ind.\Cat. 1 2 3 4 5 6 Total
1
2
3
4
5

Propiedades:
kij =

(a)

.

j∈Jq

(b) ki+ =

.

(c) k+j =

kij .
i∈I

(d)

k+j =

.

j∈Jq

(e) k++ =

.

4

Tabla de contingencia m´
ultiple o matriz de Burt:
BJJ = KIJ KIJ ,
El elemento en la fila j y la columna
bj =

de BJJ = (bj ) es
∀j, ∈ J .

kij ki ,
i∈I

Ejemplo 5.2 Para la matriz
matriz de Burt es:

1 1
0 0

0 0
BJJ = KIJ KIJ = 
0 0

1 0
0 1





=




inicial dada en el Ejemplo 5.1, la
0
1
0
1
0
0

1
0
0
0
0
1



0 
1
0
 1

1 
 0
0 
 1
1
0
0


0
0
1
0
0

0
0
0
0
1

0
0
1
0
0

1
0
0
0
1



0
1


0

1
0





.




Propiedades:
si j =
, si j = .
(ning´un individuo pertenece a dos categor´ıas distintas j y de
la misma variable)

(a) ∀j, ∈ Jq ,

bj =

0,(b) Si j y no son categor´ıas de la misma variable, entonces bj
es el total de individuos en las categor´ıas j y .
(c) bj+ = ...

5

(d) b++ = ...
Estas propiedades nos muestran la forma de tabla de contingencia
m´ultiple de la matriz de Burt,
v1
k+1
v1

v2

5.3.

...

v2
Tabla de
contingencia
entre v1 y v2

···

vQ

···

···

k+p1
Tabla de
k+(p1+1)
...
contingencia
entre v2 y v1
k+(p1+p2)

......

vQ

...

...

...

´
ANALISIS

El An´alisis de Correspondencias M´ultiple consiste en aplicar An´alisis de Correspondencias Simple a la matriz disyuntiva KIJ .
Proposici´
on 5.1 El An´alisis de Correspondencias Simple sobre
la matriz disyuntiva KIJ es equivalente al An´alisis de Correspondencias Simple sobre la matriz de Burt BJJ .
El ACS sobre la matriz disyuntiva KIJ consiste en:

6

(1)Construir la tabla de frecuencias relativas. En este caso,
fij = ...
fi+ = ...
f+j = ...
(2) Construir la tabla de perfiles fila Ri, i = 1, . . . , n, y de perfiles
columna Cj , j = 1, . . . , p.
(3) Construir la tabla de puntos fila transformados Ri∗ , i = 1, . . . , n,
o de perfiles columna transformados Cj∗, j = 1, . . . , p.
(4) Obtener la matriz de puntos fila centrados Xi, i = 1, . . . ,...