acoplados

P´ndulos acoplados
e

1. OBJETIVOS

1. Estudiar los modos de oscilaci´n de dos p´ndulos acoplados
o
e
2. Deducir de las medidas realizadas en el apartado anterior la constante de elasticidad, k, del
muelle y el momento de inercia I de los p´ndulos.
e
3. Estudiar la influencia de la longitud de acoplamiento del muelle en los modos de oscilaci´n
o
de los p´ndulos acoplados
e
2.MATERIAL

Fuente de alimentaci´n y cables.
o
Plotter.
Muelle espiral (k = 3 N/m).
P´ndulos de gravitaci´n (m = 1 kg, L = 1 m).
e
o
Regla milim´trica.
e

´
´
3. DESCRIPCION TEORICA

Dos p´ndulos de gravitaci´n de masa m y longitud L, acoplados por un muelle de constante k
e
o
situado a la longitud de acoplamiento l del punto de sujeci´n de los p´ndulos comienzan a oscilar
o
e
con´ngulos φ1 y φ2 respectivamente respecto de la posici´n de equilibrio de cada p´ndulo.
a
o
e
En esta situaci´n los momentos que act´an sobre el sistema son debidos a (para el p´ndulo 1):
o
u
e
• las fuerzas de la gravedad (g es la aceleraci´n terrestre)
o
Mg = m g sin(φ1 ) L

(1)

• las fuerzas recuperadoras sobre el muelle
Mk = −k l2 (φ2 − φ1 )

(2)

Figura 1: Movimiento dep´ndulos acoplados.
e
An´logamente se obtendr´ las fuerzas que act´an sobre el p´ndulo 2.
a
ıan
u
e
Teniendo en cuenta la ecuaci´n fundamental de la din´mica de rotaci´n
o
a
o
¨
Mi = I φi

(3)

i

Las ecuaciones del movimiento son
¨
I φ1 = −m g sin(φ1 ) L + k l2 (φ2 − φ1 )

(4)

¨
I φ2 = −m g sin(φ2 ) L − k l2 (φ2 − φ1 )

(5)

y si consideramos oscilaciones no muy grandes(sinφ ≈ φ). Introduciendo la notaci´n
o
2
ω0 =

mgL
g
=
I
L

kl2
I
resultan las ecuaciones acopladas para el movimiento de los dos p´ndulos
e
Ω2 =

(6)
(7)

2
¨
φ1 = −(ω0 + Ω2 )φ1 + Ω2 φ2

(8)

2
¨
φ2 = Ω2 φ1 − (ω0 + Ω2 )φ2

(9)

Sumando y restando las dos ecuaciones diferenciales tenemos, las ecuaciones de dos movimientos
arm´nicos
o
2
¨
¨
φ1 + φ2 = −(ω0 )(φ1 +φ2 )

(10)

2
¨
¨
φ1 − φ2 = −(ω0 + 2Ω2 )(φ1 − φ2 )

(11)

ωa = ω0

(12)

Denotemos

2
2
ωb = (ω0 + 2Ω2 )

(13)

Las soluciones depender´n de las condiciones iniciales de posiciones y velocidades de los p´ndulos.
a
e
Se van a estudiar tres casos con sus correpondientes modos de vibraci´n:
o
CASO 1
El primer modo normal de vibraci´n se obtiene cuando los dos p´ndulosse mueven en fase
o
e
con igual amplitud y el muelle central no sufre ninguna deformaci´n. Por tanto no ejerce ninguna
o
fuerza sobre las part´
ıculas, las cuales se mueven como si no estuvieran acopladas.
˙
˙
φ1 (0) = φ2 (0), φ1 (0) = φ2 (0) = 0

(14)

φ1 (t) = φ1 (0)cos(ω0 t)

(15)

φ2 (t) = φ1 (0)cos(ω0 t)

(16)

La soluci´n es
o

CASO 2
El segundo modo normal se obtienecuando los dos p´ndulos se mueven en oposici´n de fase.
e
o
˙
˙
φ1 (0) = −φ2 (0), φ1 (0) = φ2 (0) = 0

(17)

φ1 (t) = φ1 (0)cos(ωb t)

(18)

φ2 (t) = −φ1 (0)cos(ωb t)

(19)

La soluci´n es
o

CASO 3
Se le denomina caso pulsante. Corresponde a la situaci´n donde uno de los p´ndulos est´ en
o
e
a
reposo y el otro se mueve con una cierta fase inicial.
˙
˙
φ1 (0) = 0, φ2(0) = 0 φ1 (0) = φ2 (0) = 0

(20)

La soluci´n es
o
(ωb − ωa )t
(ωb + ωa )t
cos
(21)
2
2
(ωb + ωa )t
(ωb − ωa )t
sin
(22)
φ2 (t) = φ2 (0)sin
2
2
En este caso la amplitud de cada p´ndulo est´ modulada y depende del tiempo. La oscilaci´n de
e
a
o
mayor periodo, 2ω− = ωb −ωa ser´ la onda envolvente de la modulada, de frecuencia 2ω+ = ωb +ωa .
a
La energ´ se transferir´ de unp´ndulo a otro, teniendo en cuenta que en el experimento real habr´
ıa
a
e
a
disipaci´n por rozamiento, resultando un movimiento amortiguado.
o
En caso de acoplamiento d´bil se tiene que
e
φ1 (t) = φ2 (0)cos

ω+ =

Ω2
ωb + ωa
≈ ω0 +
2
2ω0

(23)

ω− =

Ω2
ωb − ωa
≈
2
2ω0

(24)

Usando la notaci´n introducida anteriormente se tiene que
o
2
2
ωb ≈ ω0 (1 +

2k...