Act. vectores

PROBLEMAS. Hoja 1

1)

Escribe el vector b como combinación lineal de los vectores u, v y w,
 1 
1
0
 1
 
 
 
 
siendo: u   1 , v   2  , w   1 , y b   7  .
2
6
3
7
 
 
 
 

2)

Sean los vectores u  (1, 2,3), v  (2,5, 2), x  (4,1,3) y z  (4,1, 8) .
1º) ¿Se puede expresar x como combinación lineal de u y v? Si es asíescribe dicha combinación lineal; si no es así explica por qué.
2º) ¿Se puede expresar z como combinación lineal de u y v? Si es así
escribe dicha combinación lineal; si no es así explica por qué.
3º) ¿Son u, v y z linealmente independientes? Justifica tu respuesta.

3)

Considera los vectores u  (1,1, m) , v  (0, m, 1) y w  (1, 2m, 0).













a) Determina elvalor de m para que los vectores u , v y w sean
linealmente dependientes.


b) Para el valor de m obtenido en el apartado anterior, expresa el vector w




como combinación lineal de los vectores u y v .
4)

En un supermercado se ofrecen dos lotes formados por distintas cantidades
de los mismos productos.
- El primer lote está compuesto por una botella de cerveza, tres bolsas decacahuetes y siete vasos y su precio es de 565 ptas.
- El segundo lote está compuesto por una botella de cerveza, cuatro bolsas
de cacahuetes y diez vasos y su precio es de 740 ptas.
Con estos datos ¿podrías averiguar cuánto debería valer un lote formado por
una botella de cerveza, una bolsa de cacahuetes y un vaso? Justifica la
respuesta.

5)

Dados los vectores u  (2,1,0) y v (1,0,1), halla un vector unitario w













que sea coplanario con u y v y ortogonal a v .


6)





Sean los vectores: v1  (0,1, 0), v2  (2,1, 1) y v3  (2,3, 1)






a) ¿Son los vectores v 1 , v 2 y v3 linealmente independientes?
b) ¿Para qué valores de a el vector (4, a  3, 2) puede expresarse como






combinación lineal de los vectoresv 1 , v 2 y v3 ?




c) Calcula un vector unitario y perpendicular a v1 y v2 .

7)

Encuentra un vector w cuya primera componente sea 2 y que sea
perpendicular a los vectores u = (1, -1, 3) y v = (0, 1, -2).

8)

Considera los vectores u (1,1,1), v (2, 2, a) y w(2, 0, 0) .







 



1º) Halla los valores de a para que los vectores u , v , y w son linealmenteindependientes.








2º) Determina los valores de a para los que los vectores u  v y u  w son
ortogonales.
9)

Se consideran los vectores 𝑢
⃗ = (𝑘, 1,1), 𝑣 = (2,1, −2) y 𝑤
⃗⃗ = (1,1, 𝑘) donde
k es un número real
a) Determina el valor de k para los que los vectores dados son linealmente
dependientes.
b) Determina los valores de k para los que 𝑢
⃗ +𝑣
⃗⃗⃗ y 𝑢
⃗ −𝑣
⃗⃗⃗son
ortogonales.
c) Para 𝑘 = −1 determina aquellos vectores que son ortogonales a 𝑢
⃗ y 𝑣 y
tienen módulo 1.

10).

Considera los puntos A(1, 3, 2), B(1,1, 2) y C (1,1, 1)
1º) ¿Pueden ser A, B y C vértices consecutivos de un rectángulo?. Justifica
la respuesta.
2º) Halla, si es posible, las coordenadas de un punto D para que el
paralelogramo ABCD sea un rectángulo.

11)

Hallarel área del triángulo cuyos vértices son los puntos A = (-1, 0, 0),
B = (1, 0, 1) y C = (0, 2, 3).

12)

Sea 𝐴 = (

13)

14)

1 1
).
1 −1
a) Comprueba que 𝐴2 = 2𝐼 y calcula 𝐴−1.
b) Calcula 𝐴2013 y su inversa.

1 2
t 1 2
Dada la matriz A  
 calcula ( A A ) A.
3
4


0 3 4


Considera la matriz A   1 4 5 
 1 3 4 


1º) Siendo I la matriz unidad 3 3 y O la matriz nula 3  3 , prueba que
A3  I  O.
2º) Calcula A10 .

15)

16)

17)

18)

19)

20)

 3 1 1 


Determina a, b y c sabiendo que la matriz A   1 a 2  verifica que
 1 b c 


 1  2
   
A   2    9  ; y que el rango de A = 2.
 3  4
   
0 0 1
 0 0 1




Considera las matrices A   0 1 0  , B   x 1 0 ...