ACT

UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
FACULTAD DE CIENCIAS
´
ESCUELA DE MATEMATICA
LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS

Introducci´
on a las sucesiones
y series num´
ericas

Ram´on Bruzual
Marisela Dom´ınguez

Caracas, Venezuela
Septiembre 2005

Ram´on Bruzual
Correo-E: rbruzual@euler.ciens.ucv.ve

Marisela Dom´ınguez
Correo-E: mdomin@euler.ciens.ucv.ve

Laboratorio de Formas en Grupos
Centro deAn´alisis
Escuela de Matem´atica
Facultad de Ciencias
Universidad Central de Venezuela
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg

Nota: Este material est´a disponible en la p´agina web
http://euler.ciens.ucv.ve/∼labfg/guias.htm
En general mantenemos una r´eplica en un servidor externo a la Universidad Central de
Venezuela, el v´ınculo se encuentra indicado en esa misma p´agina web.

Pr´ologo

Estas notas han sidoconcebidas para ser utilizadas en la parte de Sucesiones y Series
Num´ericas, del curso de Matem´atica III de la Facultad de Ciencias de la Universidad Central de Venezuela. En este curso participan estudiantes de las Licenciaturas en Biolog´ıa,
Geoqu´ımica, Qu´ımica, Computaci´on, F´ısica y Matem´atica.
El trabajo de mecanograf´ıa y la elaboraci´on de los gr´aficos est´a a cargo de los autores.Agradecemos cualquier observaci´on o comentario que deseen hacernos llegar.
Ram´on Bruzual.
Marisela Dom´ınguez.
Septiembre 2005.

iii

CONTENIDO
Cap´ıtulo 1. Sucesiones num´ericas.

1

1. Definiciones y resultados b´asicos

1

2. Sucesiones convergentes.

4

3. El n´
umero e.

5

4. Sucesiones mon´otonas.

5

5. Operaciones con sucesiones

5

6. Repaso de la regla de L’Hˆopital.

6

7. L´ımiteinfinito

9

8. Sumas finitas y el s´ımbolo sumatorio.

11

Ejercicios.
Sucesiones.

13

Cap´ıtulo 2. Series num´ericas.

19

1. Series.

19

2. Convergencia y divergencia de series.

22

3. Criterios de convergencia para series de t´erminos positivos.

24

4. Criterios de convergencia para series de t´erminos alternadas.

30

5. Series telesc´opicas.

30

Ejercicios.
Series.

32

Cap´ıtulo 3.F´ormula de Stirling y producto de Wallis.

37

1. La f´ormula de Stirling.

37

2. El producto de Wallis.

38

Ejercicios.
F´ormula de Stirling y producto de Wallis.

41

Bibliograf´ıa

43

´Indice

45

v

CAP´ITULO 1

Sucesiones num´
ericas.
Este cap´ıtulo es un repaso de cursos previos.
Concepto de sucesi´on y ejemplos. L´ımite de una sucesi´on. Propiedades
del l´ımite. C´alculo de l´ımites desucesiones.
1. Definiciones y resultados b´
asicos
La idea de sucesi´on en R es la de una lista de puntos de R.
Son ejemplos de sucesiones:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, . . .
2, 4, 6, 8, 10, . . .
1, 4, 9, 25, 36, . . .
1, 1/2, 1/3, 1/4, . . .
1, 10, 100, 1.000, 10.000, . . .
1, −1, 1, −1, 1, . . .
Lo importante acerca de una sucesi´on es que a cada n´
umero natural n le corresponde un
punto de R, por estodamos la siguiente definici´on.
´ n 1.1. Una sucesi´on es una funci´on de N en R.
Definicio
Si a : N → R es una sucesi´on en vez de escribir a(1), a(2), a(3), . . . suele escribirse
a 1 , a2 , a3 , . . .
La misma sucesi´on suele designarse mediante un s´ımbolo tal como {an }, (an ) ´o {a1 , a2 , . . .}.
Tambi´en usaremos {an }, (an ) ´o {a1 , a2 , . . .}.
Ejemplo 1.2. La sucesi´on de Fibonacci {an} est´a definida por
a1 = a2 = 1, an = an−1 + an−2 .
1

´
1. SUCESIONES NUMERICAS.

2

Esta sucesi´on fue descubierta por Fibonacci (1175-1250. aprox.) en relaci´on con un problema
de conejos. Fibonacci supuso que una pareja de conejos criaba una nueva pareja cada mes y
que despu´es de dos meses cada nueva pareja se comportaba del mismo modo. El n´
umero an
de parejas nacidas en el n-´esimo meses an−1 + an−2 , puesto que nace una pareja por cada
pareja nacida en el mes anterior, y adem´as cada pareja nacida hace dos meses produce ahora
una pareja nueva.

Una sucesi´on, al igual que toda funci´on, tiene una representaci´on gr´afica.
Por ejemplo, sean

αn = n
βn = (−1)n
γn =

1
n

Las gr´aficas de {αn }, {βn } y {γn } son las siguientes:

5
4
3
2
1

1

2

3

4

5

Figura 1.1. {αn }...