Act

Gustavo Adolfo Leon de los Santos

Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

Act. 3 Campos finitos
1. Demuestra de las siguientes ternas cuales son campos finitos:
 (ℱ4, +,∙), ℱ4 = {0, 𝑎, 𝑏, 𝑐} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna
están definidas de la siguiente manera:

Si es campo



ASOCIATIVO

(a + b) + c = a + (b + c)

(b ∙ c)a = b(c ∙ a)

c+c=a+a

a∙a=b∙c

0=0

a=a



CONMUTATIVA:b+c =c+b

a∙c=c∙a

a=a

c=c



DISTRIBUTIVA

a(b + c) = (a)(b) + (a)(c)
a(a) = b + c
a=a



IDENTIDAD ADITIVA



IDENTIDAD MULTIPLICATIVA

a+0=a

a∙a=a

b+0=b

b∙a=b

c+0=c

c∙a=c

Gustavo Adolfo Leon de los Santos



Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

INVERSOS ADITIVOS

a+a=0
b+b=0
c+c=0


INVERSOS MULTIPLICATIVOS
a∙a=a
b∙c=a
c∙b=a

Gustavo Adolfo Leon de los Santos



Seminariode métodos matemáticos 16/09/2015

b. (ℤ5, +,∙), ℤ5 = {0,1,2,3,4} y las operaciones (+ 𝑦 ∙) de la terna
están definidas de la siguiente manera:

Si es campo










ASOCIATIVA:
(1 + 4) + 3 = 1 + (4 + 3)
(4 ∗ 3) ∗ 2 = 4(3 ∗ 2)
0+3=1+2
2∗2=4∗1
3=3
4=4
CONMUTATIVA:
2+4= 4+2= 1
3∗2=2∗3 =1
DISTRIBUTIVA:
4(2 + 1) = (4 ∗ 2) + (4 ∗ 1)
4(3) = 3 + 4
2=2
IDENTIDAD ADITIVA:
3+0=3
IDENTIDADMULTIPLICATIVA:
4∗1=4
INVERSOS ADITIVOS
− INVERSOS MULTIPLICATIVOS
1+4=0
2+3=0
3+2=0
4+1=0

1∗1= 1
2∗3= 1
3∗2= 1
4∗4= 1

Gustavo Adolfo Leon de los Santos



Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

c. (ℤ10, +,∙), ℤ10 = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

No es campo
+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9


1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0

2
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1

3
3
4
5
6
7
8
9
0
1
2

4
4
5
6
7
8
9
0
1
2
3

5
5
6
7
89
0
1
2
3
4

6
6
7
8
9
0
1
2
3
4
5

7
7
8
9
0
1
2
3
4
5
6

8
8
9
0
1
2
3
4
5
6
7

9
9
0
1
2
3
4
5
6
7
8

°
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5

6
0
6
2
8
4
0
6
2
8
4

0∙9= 5∙8

4=4

0=0

CONMUTATIVA:
4+5=5+4

6∙3= 3∙6

9=9

8=8

DISTRIBUTIVA:
6(3 + 7) = (6 ∙ 3)(6 ∙ 7)
6(0) = 8 + 2
0=0



4
0
4
8
2
6
0
4
8
2
6

7
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3

(5 ∙ 2)9 =5(2 ∙ 9)

7+7= 3+1



3
0
3
6
9
2
5
8
1
4
7

ASOCIATIVA:
(3 + 4) + 7 = 3 + (4 + 7)



2
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8

IDENTIDAD ADITIVA:
1+0=1
2+0=2
3+0=3
4+0=4
5+0=5
6+0=6

8
0
8
6
4
2
0
8
6
4
2

9
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1

Gustavo Adolfo Leon de los Santos

Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

7+0=7
8+0=8
9+0=9




IDENTIDAD MULTIPLICATIVA:



INVERSO ADITIVO:

1∙1=1

1+9=0

2∙1=2

2+8=0

3∙1=33+7=0

4∙1=4

4+6=0

5∙1=5

5+5=0

6∙1=6

6+4=0

7∙1=7

7+3=0

8∙1=8

8+2=0

9∙1=9

9+1=0

d. (ℤ6, +,∙), ℤ6 = {0,1,2,3,4,5, }

No es campo
+
0
1
2
3
4
5


0
0
1
2
3
4
5

1
1
2
3
4
5
0

2
2
3
4
5
0
1

3
3
4
5
0
1
2

4
4
5
0
1
2
3

5
5
0
1
2
3
4

°
0
1
2
3
4
5

0
0
0
0
0
0
0

1
0
1
2
3
4
5

2
0
2
4
0
2
4

3
0
3
0
3
0
3

4
0
4
2
0
4
2

ASOCIATIVA:

(5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4)

(2 ∙ 5)1 = 2(5 ∙ 1)2+4=5+1

4∙1=2∙5

0=0

4=4



CONMUTATIVA:

2+5=5+2

3∙4=4∙3

1=1

0=0



DISTRIBUTIVA:

2(4 + 1) = (2 ∙ 4)(2 ∙ 1)

5
0
5
4
3
2
1

Gustavo Adolfo Leon de los Santos
2(5) = 2 + 2

Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

4=4


IDENTIDAD ADITIVA:

1+0=1
2+0=2
3+0=3
4+0=4
5+0=5


INVERSO ADITIVO:

1+5=0
2+4=0
3+3=0
4+2=0
5+1=0


INVERSO MULTIPLICATIVO:

1∙1=1
2 ∙ ?= 1



IDENTIDADMULTIPLICATIVA:
1∙1=1

2∙1=2
3∙1=3
4∙1=4
5∙1=5

Gustavo Adolfo Leon de los Santos

+
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x

0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X

1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
X
0


2
2
3
4
5
6
7
8
9
X
0
1

. (ℤ11, +,∙), ℤ10
3 4 5 6 7
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
5 6 7 8 9
6 7 8 9 X
7 8 9 X 0
8 9 X 0 1
9 X 0 1 2
X 0 1 2 3
0 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6

Seminario de métodos matemáticos 16/09/2015

=
8
8
9
X
0
1
2
3
4
5
6
7{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, 𝑋}
9 X
° 0 1
0 0 0
9 X
1 0 1
X 0
2 0 2
0 1
3 0 3
1 2
4 0 4
2 3
5 0 5
3 4
6 0 6
4 5
7 0 7
5 6
8 0 8
6 7
9 0 9
7 8
x 0 X
8 9

2
0
2
4
6
8
0
2
4
6
8
9

3
0
3
6
9
2
5
8
1
4
7
8

4
0
4
8
2
6
0
4
8
2
6
7

5
0
5
0
5
0
5
0
5
0
5
6

6
0
6
2
8
4
0
6
2
8
4
5

7
0
7
4
1
8
5
2
9
6
3
4

8
0
8
6
4
2
0
8
6
4
2
3

9
0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
2

X
0
X
9
8
7
6
5
4
3
2
1

No es campo
2. Realiza una investigación...