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Matemáticas Actuariales I
Clase 2
29 de Enero 2013
1. Algunas variables aleatorias, tanto discretas como continúas que nos modelarán y ayudarán a
calcular las probabilidades de sobrevivencia o muerte de una persona en edad “x” para los
próximos “t” años.
1.1 Notación y relación de las v.a.’s t q x , t px con F(x), S(x).
2. Definición, explicación, obtención y formulación de la

µ ( x ) (fuerza demortalidad).
mortalidad)

2.1 Obtención
ón del tiempo futuro de vida de una persona en edad “x”,

(e

°
0

= E ( x ))

.

Tiempos futuros de vida y sus probabilidades
Sea “x” el tiempo de vida hasta este momento de un objeto, animal, persona, etc. cuya muerte,
desaparición o fallo, y el tiempo que falta para que ocurra dicho evento, nos interese conocer.
Es común denotar al tiempo futuro de vidarestante del objeto ““x”
x” como una variable aleatoria
T ( x ) , debido a que es incierto cuanto tiempo le falta a dicho objeto, animal o persona, hasta
que le ocurra la muerte, desaparición o falle. El tiempo total de vida posible para dicho objeto o
persona se le denota como ω , en nuestro caso entonces, un objeto o persona que haya vivido
hasta este momento x años, indicará que a lo más podrávivir ω = x + T ( x ) , es decir:
0

ω

x

T (x )
Aunque ω es usada en Probabilidad para denotar los elementos del espacio muestral se debe de
tener cuidado de no confundir, ya que es la notación común y acostumbrada en Actuarial
Mathematics, asimismo se deberá asumir que en el caso de nuestro curso se asumirá que
ω = 100 .
Aunque las matemáticas actuariales son posible de aplicar a distintasáreas de conocimiento, para
el caso de su estudio y por lo extenso del mismo, se asumirán problemas de seguros, más en
e
particular de seguros de vida. (Tareíta: buscar otras aplicaciones de las matemáticas actuariales,
diferentes a los seguros).
En la notación actuarial, la probabilidad de que una persona nacida en el tiempo 0 muera antes de
n años es denotado por x q 0 , esta es una notación que sedesprende de una función de
distribución acumulativa, a la cual denotaremos como F ( x ) , de tal forma que:
x

q0 = P ( X ≤ x ) = F ( x )

La probabilidad de que una persona nacida en este momento muera después de que llegue a la
edad x es denotada por x p0 , lo anterior también es posible de expresar de la siguiente forma,
x

p0 es la probabilidad de que una persona en edad 0, sobreviva por lossiguientes “x” años.

También esta es una nueva notación para la familia de funciones de distribución, siendo:

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x

p0 = P ( X > x ) = 1 − F ( x ) = S ( x )

A la función de distribución S ( x ) se le nombra función de supervivencia, y es obvio debido a que
denota las probabilidades de que sobreviva un elemento de la población modelada bajo lafunción
F ( x ) , siendo esta ultima la función que se ajusta a las probabilidades de muerte en cada
intervalo de tiempo hasta ω = 100 .
Para nosotros ya son conocidas las v.a. uniformes y exponencial y aunque estas v.a. no son buenos
modelos para describir el comportamiento de la vida humana, son posibles de aplicar a modelos
para otras poblaciones.
Ejemplo
Supóngase que se tiene una población quese ajusta a una función de distribución exponencial,
con tiempo medio de vida de 20 años, hallar las siguientes funciones: F ( x ) y S ( x ) .
Solución:
x

q0 = P ( X ≤ x ) = F ( X ) = 1 − e −0.05 x

x

p0 = P ( X > x ) = 1 − F ( x ) = S ( x ) = e −0.05 x

Repasemos las graficas que conocemos sobre una función de distribución* en particular una
distribución Birnbaum-Saunders.
Ejemplo (Aplicación)Modelación del comportamiento de los Siniestros Catastróficos de una cartera de Pólizas de
GMM.
El objetivo es aplicar la distribución BS para modelar el comportamiento de los siniestros
Catastróficos mayores a $700,000 de la cartera de GMM de una aseguradora.
Los datos utilizados para el ajuste de los siniestros catastróficos son N=150, los parámetros
estimados bajo el proceso antes visto y la...