Act02

Métodos Matemáticos II
Actividad 2

Métodos Matemáticos II
Cálculo Vectorial
Actividad 2: Límites y continuidad en funciones vectoriales.
"Defiende tu derecho a pensar, porque incluso pensar demanera errónea es mejor que no pensar.".
--Hipatia de Alejandría.
El concepto de límite en Matemáticas tiene el sentido de “lugar” hacia el
que se dirige la función en un determinado punto o en elinfinito.
Al encontrarnos con el estudio de los límites de las funciones de varias
variables, se ponen al descubierto las grandes dificultades de pasar del
cálculo de una variable al de varias variables: parafunciones de una variable
sus dominios son “pedazos de recta”, muchas veces intervalos, cuyas
descripciones son en general fáciles de entender. Para una función de 𝑛
variables, su dominio es un“pedazo de ℝ𝑛 ”, y … aquí empiezan los problemas.
¿Cómo son los subconjuntos de ℝ𝑛 “equivalentes” a los subconjuntos de ℝ?
Esta es una pregunta cuya respuesta puede ser complicada, y pertenecen a
la parte dela matemática llamada “topología”.
La herramienta básica que usaremos para nuestro propósito es la de “bola
abierta, conjunto abierto, frontera de un conjunto y límite” cuyas definiciones
son:Definición. (Bola abierta) Sea 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 y 𝑟 > 0. La bola abierta de centro en
𝑥0 y radio 𝑟, denotada por 𝐵(𝑥0 , 𝑟), es el conjunto de puntos de ℝ𝑛 que distan
de 𝑥0 en menos que 𝑟. Es decir 𝐵(𝑥0 , 𝑟) = {𝑥 ∈ℝ𝑛 | ∥ 𝑥 − 𝑥0 ∥< 𝑟}
Definición. (Conjunto abierto) se dice que el conjunto 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 es un conjunto
abierto de ℝ𝑛 , si para cada 𝑥0 ∈ 𝑈 existe un 𝑟 > 0 tal que 𝐵(𝑥0 , 𝑟) ⊂ 𝑈.
Definición. (Frontera de unconjunto) Sea 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 un subconjunto de ℝ𝑛 . Se
dice que el punto 𝑥0 ∈ ℝ𝑛 es un punto frontera de 𝑈 si toda bola abierta con
centro 𝑥0 y radio 𝑟 > 0 contiene puntos dentro de 𝑈 y fuera de 𝑈. La frontera
de 𝑈es el conjunto de puntos frontera de 𝑈, y se denomina por 𝜕𝑈.
Definición. (Límite) Sea 𝑓 ∶ 𝑈 ⊆ ℝ𝑛 ⟶ ℝ una función definida en el conjunto
abierto de 𝑈 de ℝ𝑛 . Sea 𝑥0 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑈 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 𝑢𝑛...