Act7 Logica Matematica

Ejemplo de aplicación

A continuación, encontrarás un interesante ejemplo de aplicación a las ciencias humandas, en el cual los doctores Antonio M. BATTRO y Percival J. DENHAM recurren a los conceptos desarrollados en el Álgebra de Boole como base teórica de la investigación "Hacia una inteligencia digital", publicada por la Academia nacional de educación de Buenos Aires en el año 2007:Trataremos de ir de lo simple a lo complejo. Los instrumentos
musicales de teclado, por ejemplo, son una buena muestra de
programar acciones complejas con los dedos. Tienen la propiedad
de generar un sonido cuando se presiona una tecla. Esta es
la opción clic que usa el pianista. Con un solo dedo puede crear
una melodía, con dos ya puede producir acordes, es decir crear
sonidos simultáneos. Lascombinaciones de sonidos aumentan
en forma exponencial a medida que aumentamos el número de
dedos sobre el teclado y el número de teclas. Por lo tanto hay un
«espacio combinatorio» que va aumentando, de una tecla a muchas,
los llamaremos espacios clic unarios, binarios, ternarios,
n-arios.

EL ESPACIO CLIC UNARIO. Como dijimos anteriormente, la alternativa
fundamental con un elemento(alternativa unaria) por sí o por
no, por «A o no A» (en símbolos, A v ~A), genera un reticulado de
Boole que es la base lógica de todo el proceso de selección basado
en la opción clic.
El reticulado elemental de Boole tiene 22, cuatro nodos. En
nuestro ejemplo del piano, la opción clic elemental, es decir «tocar
o no la tecla A», es el «supremo» del reticulado, que en el cálculo
proposicional seexpresa como la disyunción A v ~A, donde
A signi.ca «tocar la tecla A» y ~A signi.ca «no tocar la tecla A».
En cambio, el «ín.mo» es la conjunción A . ~A, que no tiene realización
musical posible pues es contradictoria, sería optar por
ambos opuestos conjuntamente. Se podría también interpretar
como la meta-opción de «no tomar ninguna opción», ni por A ni
por ~A, de recusar este juego deopciones: algo equivalente a
cerrar el piano (o desconectar la computadora).

El experimento mayor/menor de Dehaene que hemos analizado
es un caso de espacio clic unario. Finalmente, las líneas
entre nodos que componen la trama del reticulado pueden interpretarse como caminos heurísticos, o sea como los «caminos
por el espacio de opciones» que nos ofrece la situación. Como
se trata aquí delespacio más restringido posible: una sola tecla
para tocar o no tocar, estos caminos son triviales, hay dos que
convergen al supremo y dos que van hacia el ín.mo. Pero veremos
que cuando empieza a crecer el espacio de opciones los
caminos heurísticos pueden ser de una enorme complejidad, e
interés.

EL ESPACIO CLIC BINARIO. Sigamos con el ejemplo del piano y del
pianista. Con dos teclas A yB, la combinatoria aumenta a 24, es
decir hay 16 nodos en el reticulado que representa este conjunto
de opciones. El nodo supremo, que representa todas las alternativas
posibles para dos elementos A y B, se puede representar
simbólicamente por cuatro opciones básicas. La expresión formal
de la opción clic para dos elementos en el cálculo lógico de
proposiciones es una tautología (es siempreverdadera):

(A . B) v (A . ~B) v (~A . B) v (~A . ~B).

En el ejemplo del teclado, el primer miembro de esta expresión
(A . B) representa un acorde de dos notas; (A . ~B) signi.ca que
se toca la tecla A y no se toca la tecla B; (~A . B), que no se toca
la tecla A y se toca la tecla B; (~A . ~B), que no se toca ninguna
de las dos teclas (silencio).

EL ESPACIO CLIC TERNARIO. Comodijimos, para un espacio de opciones
de tres dimensiones (de.nido por tres elementos, A, B y
C), el número de combinaciones aumenta signi.cativamente y
obtenemos un reticulado con 256 nodos. Jean Piaget dedicó un
libro a las operaciones ternarias, que él consideraba de.nitorio
del pensamiento operatorio formal del adolescente (Piaget 1952),
pero este no es el sentido que le atribuimos aquí....