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E

Regla de Bayes
Consideremos un modelo como el que planteamos al estudiar la probabilidad total, en el
cual el espacio muestral estaba particionado y se quería calcular la probabilidad de unsuceso A contenido en ese espacio muestral.
Supongamos ahora que lo que sea desea no es la probabilidad del suceso A sino la
probabilidad de una de las partes, sabiendo que ocurrió A.
El lectorpodrá advertir que esto está íntimamente relacionado con lo que se dijo al
estudiar la probabilidad condicional: que cuando se aplica una condición, el nuevo
espacio muestral pasa a ser el suceso en elcual se cumple esa condición, y entonces las
probabilidades cambian porque ahora están referidas a un nuevo espacio muestral (si esto
no se entiende inmediatamente recomendamos repasar las secciones1.4, 1.5 y 1.6)
Dijimos entonces que el espacio muestral E estaba particionado, y que se sabe que ocurrió
A, y entonces se desea calcular la probabilidad de cada parte (es decir, calcular las nuevasprobabilidades, referidas al espacio muestral A).

a priori
conocemos las probabilidades originales de
las partes, o sea las P(pi)

a posteriori
conocemos las probabilidades de las partessabiendo que ocurrió A, o sea las P(pi/A)

Si queremos calcular la probabilidad de la parte pi, sabiendo que ocurrió A, planteamos:
P  pi / A=

P  pi ∩ A
P  A

En el denominador usamos lafórmula de la probabilidad total, y nos queda:

P  pi / A =

P  pi ∩ A 
n

∑ P  pi ∩ A 
i=1

A continuación damos vuelta las dos intersecciones y aplicamos la definición deprobabilidad condicional, y queda:
P  pi ∩ A 

P  A∩ pi 

=

n

∑ P  pi ∩ A 
i=1

n

P  A/ pi  P  pi 

=

∑ P  A∩ pi 
i=1

n

∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1

En conclusión:
P pi / A =

P  A/ pi  P  pi 
n

∑ P  A/ pi  P  pi 
i=1

Lo cual se conoce como regla de Bayes ó fórmula de Bayes.
Observemos que se tienen como dato las probabilidades originales...