Actividad Integradora Calculo Integral

ACTIVIDAD INTEGRADORA B1:
Proyecto y Resolución de problemas
Contextualización

Preguntas detonadoras:
¿Qué entiendes por diferencial?
R=En matemática, el término diferencial posee varios significados:
* En el campo de la matemática llamado cálculo, el diferencial representa un cambio en la linearización de una función.
* Tradicionalmente, el diferencial (ej. dx, dy, dt etc...)es interpretado como un infinitesimal.
* El diferencial jacobiana cuyas componentes son las derivadas parciales de una función de forma Rn en Rm (especialmente cuando esta matriz es vista como una aplicación lineal).
* Geometría diferencial
* Las formas diferenciales proveen un marco de trabajo que permite multiplicación y derivación de diferenciales.
* La derivada exterior esuna noción de derivación de formas diferenciales que generaliza el diferencial de una función (la cual es un diferencial 1-forma).
* La aplicación diferencial tangente o pushforward se refiere a la derivada de una aplicación entre variedades diferenciables y las operaciones que define. El diferencial es también usado para definir el concepto dual de pullback.

¿Que aporto Eudoxo (408-355 a.C), Arquímedes( 287-212 a. C.),Riemann (1826-1866) Para establecer el calculo del área bajo la curva?
R= Eudoxo demostró que el volumen de una pirámide es la tercera parte del de un prisma de su misma base y altura; y que el volumen de uncono es la tercera parte del de un cilindro de su misma base y altura, teoremas ya intuidos por Demócrito.6 Para demostrarlo elaboró el llamado método deexhausción,7 antecedente del cálculo integral,2 para calcular áreas y volúmenes. El método fue utilizado magistralmente por Arquímedes. El trabajo de ambos como precursores del cálculo fue únicamente superado en sofisticación y rigor matemático por Newtony Leibniz.
Una curva algebraica lleva su nombre, la kampyle de Eudoxo:

Se considera que Arquímedes fue uno de los matemáticos más grandes de laantigüedad y, en general, de toda la historia.2 3 Usó el método exhaustivo para calcular el área bajo el arco de una parábola con el sumatorio de una serie infinita, y dio una aproximación extremadamente precisa del número Pi.4 También definió la espiral que lleva su nombre, fórmulas para los volúmenes de las superficies de revolución y un ingenioso sistema para expresar números muy largos.
Laintegral de Riemann como integral indefinida. Pero la integral de Lebesgue, que nosotros queremos desarrollar, no tiene dificultad con  y de hecho . Son diversas las propiedades que requerimos puntualizar que cumple la integración, debemos verificarlas para nuestras diferentes definiciones en este campo. Nosotros consideraremos el valor de la integración de funciones en varias colecciones. Estascolecciones tienen un dominio común, para nuestros propósitos, es un intervalo cerrado. 

¿Que estudios se conoce como la integración Riemann?
R= La integral de Riemann se define en términos de sumas de Riemann de funciones respecto departiciones etiquetadas de un intervalo. Sea [a,b] un intervalo cerrado de la recta real; entonces una partición etiquetada de [a,b] es una secuencia finita
 ydenotamos la partición como 

¿ Cuales son los diferentes métodos para el calculo del área bajo la curva?
R= Para calcular el área bajo una curva usando integrales hay que integrar la función que describe la curva entre el intervalo que se quiere medir el área.

Por ejemplo si quiero calcular el área bajo la curva de ƒ(x) = x² + 1 entre -2 y 2 debo calcular:
     2                              2   
>   ∫ x² + 1 dx = [⅓x³ + x] │ = ⅓2³ + 2 - ( ⅓(-2)³ - 2 ) =
   -2                               -2

= 8/3 + 2 + 8/3 + 2 = 28/3
¿Consideras que el Cálculo te puede ayudar en la estimación de errores y aproximación de variables en las ciencias exactas, sociales, naturales y administrativas?
R= si

Instrucciones:
En equipos designados por el profesor, resolver los siguientes...