actividad9

An´alisis Matem´atico I
Actividad 9
Subsucesiones
1. Definici´on de subsucesi´
on y l´ımite subsecuencial
2. {pn } converge a p si y solo si cualquier subsucesi´on de {pn } converge a p.
3. Teorema.a) Toda sucesi´on en un espacio m´etrico compacto X tiene una subsucesi´on convergente a un punto en X.
[Considera dos casos: cuando el rango de la sucesi´on es finito y cuando
es infinito.]
b) Todasucesi´
on acotada en Rk tiene una subsucesi´on convergente en
k
R
[Usa el inciso anterior]
4. Teorema. Los l´ımites subsecuenciales de una sucesi´on {pn } en un espacio
m´etrico X forman un conjuntocerrado de X.
[Sea E ∗ el conjunto de los l´ımites subsecuenciales de {pn }, y sea q punto
l´ımite de E ∗ . Construye una subsucesi´on de {pn } que converge a q de la
siguiente manera:
Primero elige n1tal que pn1 ̸= q (si no existe tal n1 entonces (E ∗ )′ = ∅).
Sea δ = d(pn1 , q). Sup´on que existen n1 < n2 < . . . < ni−1 tales que
d(pnj , q) ≤ 21−j δ para 1 ≤ j ≤ i − 1.
Elige a ni , usando que qes punto l´ımite de E ∗ y que existe x ∈ E ∗ con
d(x, q) < 2−i δ.]
Sucesiones de Cauchy
1. Definici´on de sucesi´
on de Cauchy en un espacio m´etrico.
2. Sea E un subconjunto acotado de un espaciom´etrico. Definimos el di´ametro
de E como
sup{d(x, y) : x, y ∈ E}
Si E no es acotado, decimos que el di´ametro de E es ∞.
3. Sea {pn } una sucesi´on en X y defina
EN = {xn : n ≥ N }.
Demuestra que lasucesi´on {pn } es de Cauchy si y solo si l´ımN →∞ diam EN =
0.
4. Teorema.
1

a) diam(E) = diam(E).
[E ⊂ E implica que diam(E) ≤ diam(E).
Sea ϵ > 0 y p, q ∈ E. Existen x, y ∈ E tales que d(p, x) <
d(q,y) < 2ϵ . Usa la desigualdad

ϵ
2

y

d(p, q) ≤ d(p, x) + d(x, y) + d(y, q) < ϵ + diam(E),

para concluir. ]
b) Si {Kn } es una sucesi´on de compactos en un espacio m´etrico tales
que Kn ⊃ Kn+1 paratoda n ∈ N, y l´ımn→∞ diam(Kn ) = 0, entonces
∩n∈N Kn consta de un solo punto.
[Si K = ∩n∈N Kn contiene m´as de un punto, entonces 0 < diam(K) ≤
diam(Kn ) para cada n ∈ N, lo cual contradice que...