Actividades con el geoplano

ACTIVIDADES CON EL GEOPLANO
Hemos de tener en cuenta en todas las actividades propuestas que:
1. Los vértices de los polígonos que se construyan han de estar situados sobre los puntos del geoplano.
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2. La unidad de longitud será la distancia entre dos puntos consecutivos situados en la misma fila o en la misma columna.
3. La unidad de superficie será el área del cuadrado más pequeño dela cuadrícula.
Por ejemplo el hexágono representado en el geoplano de la izquierda tiene 8 unidades de longitud de perímetro y 3 unidades de superficie.

ACTIVIDAD 1: Construimos y estudiamos una figura.
Construye el polígono de la figura en el geoplano interactivo, dibújalo en la plantilla e indica:
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a) Nombre, b) Perímetro, c) Superficie, d) ¿Es cóncavo o convexo?
e) Ángulosinteriores, f) Ángulos exteriores
g) Dibuja otro polígono con el mismo perímetro.
h) Dibuja otro polígono con su misma superficie.

ACTIVIDAD 2: Buscando polígonos con un nº determinado de lados.
A continuación te proponemos la siguiente actividad que debes plasmar en la plantilla cuadriculada:
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En un geoplano 2 x 2 (geoplano de 4 puntos) se puede trazar un polígono de tres lados y otro decuatro lados.
¿De cuántos lados se pueden trazar polígonos en un geoplano 3 x 3, 4 x 4?
Para cada uno de ellos indica el perímetro y la superficie.


ACTIVIDAD 3: Polígonos de igual perímetro.
Dibuja todas las figuras poligonales que puedas sobre un tablero 4 x 4 de manera que sus perímetros sean siempre 12 unidades. Calcula las áreas de las figuras que has ido construyendo.
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ACTIVIDAD4: Polígonos con la misma superficie.
Dibuja sobre un geoplano 3 x 3 todos los polígonos de área 2. Indica el perímetro de cada figura.
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ACTIVIDAD 5: Triángulos.
¿Cuántos triángulos no semejantes puedes formar sobre un geoplano 3 x 3?
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Clasifica todos los triángulos anteriores en función de sus lados y de sus ángulos.


ACTIVIDAD 6: Cuadrados.
¿Cuántos cuadrados puedeshacer en un geoplano 2 x 2, 3 x 3, 4 x 4 y 5 x 5?
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Calcula el lado, el perímetro y el área de cada cuadrado.













ACTIVIDAD 7: Áreas de figuras sobre un tablero (Fórmula de Pick).
Existe una fórmula, llamada Fórmula de Pick, que relaciona los nodos de un polígono construido con el geoplano con el área de dicho polígono.
George Alexander Pick fué un matemático austriaconacido en Viena (1859) que murió en un campo de concentración nazi durante la II Guerra Mundial (se cree que en 1943).
G.A.Pick estableció la relación que existe entre los nudos de una malla y la área de un polígono dibujado sobre ella.
Para determinar la fórmula dibuja polígonos sin puntos en el interior, con un punto en el interior, con dos en el interior... Completa una tabla como la de lafigura e intenta encontrar una relación entre las magnitudes:
a) Área del polígono
b) Puntos del geoplano del contorno de la figura
c) Puntos del geoplano interiores al polígono
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¿La tienes? Si es así comprueba que se verifica para las figuras:
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ACTIVIDAD 8: Áreas de figuras con agujeros sobre un tablero.
Si consideramos figuras con agujeros, la Fórmula dePick no se cumple, pero, es posible encontrar una relación entre:
a) Área del polígono
b) Puntos del geoplano del contorno de la figura
c) Puntos del geoplano interiores al polígono
d) Agujeros que tiene la figura
Intenta encontrar esta relación dibujando figuras con un agujero, con dos, con tres,...
Aquí tienes una muestra con figuras de uno y dos agujeros:
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ACTIVIDAD 9:Optimizando.
a) De todos los triángulos rectángulos cuyos catetos suman 10, halla las dimensiones de aquel cuya área es máxima.
b) De todos los rectángulos de perímetro 16, determina el que tiene mayor área.
Indicaciones: Construye sobre un geoplano todos los triángulos rectángulos cuyos catetos sumen 10 unidades. Determina el área de cada uno y obtendrás la solución óptima. De forma análoga...