Actuarial

“Calculo Actuarial con Cadenas de Markov, una aplicación”
Xavier Cabezas1, Fernando Sandoya2 Ingeniero en Estadística Informática 2000 Director de Tesis, Matemático, Escuela Politécnica Nacional 1996, Profesor de la ESPOL desde 1995.
2 1

RESUMEN
Comenzando con un análisis de la economía del seguro y la teoría del riesgo, luego de la definición de procesos estocásticos, justificamos laexistencia de espacios y distribuciones finito dimensionales y explicamos las propiedades básicas de los procesos de Markov, después estudiamos las fuerzas de transición en intervalos de tiempo discretos, que nos servirán para la determinación de probabilidades en tiempo continuo, también analizamos lo más importante del método, que es el tomar en cuenta el tiempo de duración dentro de un estadodeterminado y la dependencia del mismo en el cálculo de probabilidades de transición, terminando con una muestra de la aplicabilidad del método en problemas ecuatorianos, con un pequeño ejemplo del mismo.

INTRODUCCION
La sociedad ecuatoriana no posee suficientes referencias acerca de la ciencia actuarial, así como de sus aportes y aplicaciones en la vida cotidiana. A excepción de los expertos, pocaspersonas conocen que los cálculos actuariales están ligados a los seguros de personas, bienes o servicios, y que sobre la base de ellos se establecen las primas, los riesgos, tiempos de vida o utilidad esperados, etc., por citar algunas situaciones. Justamente, la forma actual de analizar esas situaciones olvida ciertos momentos importantes de aquéllas, en el lapso de tiempo desde su origen hastasu término. En el Análisis Markoviano se resaltan las virtudes de un método moderno que explora exhaustivamente las situaciones mencionadas anteriormente y las formula matemáticamente. Este método fue propuesto en el año 1994 por un investigador canadiense y es ampliamente desarrollado en esta tesis. La aplicación del método se presenta como un aporte a las ciencias actuariales, con el objeto deque las compañías aseguradoras del país se orienten en este marco teórico y den respuestas más prácticas y coherentes dentro del mundo de los seguros.

CONTENIDO Función de Supervivencia
Definamos la edad de muerte de un recién nacido por X como una variable aleatoria continua, y la función de probabilidad de densidad acumulada por:

F ( x ) = Pr ( X ≤ x )

x≥0

La cual es laprobabilidad de que la edad de muerte de un recién nacido sea menor o igual a x . Por lo tanto podemos escribir a la función de supervivencia acumulada como:

s ( x ) = 1 − F ( x ) = Pr ( X > x )

x≥0

Mortalidad en Grupos Homogéneos
Consideremos un grupo de individuos con características homogéneas que los hace similares entre sí, entonces, podemos referirnos a la edad de un grupo, como una variablealeatoria, así como las probabilidades de muerte y sobrevivencia en una determinada edad.

Probabilidades en Tablas Ultimadas y de Grupos Seleccionados
El modelo completo para un subgrupo especial seleccionado, que pertenece a un grupo general, es un conjunto de funciones de supervivencia, una función para cada edad, que reconozca una información determinada, este conjunto puede ser descritopor medio de una función general de dos variables, la primera es la edad a la que por ejemplo se adquiere un seguro o enfermedad [x ] , y la segunda variable es el tiempo de duración de la póliza o la enfermedad t . Al tiempo t lo denominaremos periodo selecto, dentro del cual las probabilidades, para el subgrupo seleccionado, son encontradas a partir de la función de supervivencia bivariadadescrita anteriormente, y después de este número de años, la función de supervivencia S (x ) general, puede ser utilizada para todo el grupo. Si una Tabla además de tomar edades dentro del periodo selecto, toma en cuenta tiempos mayores a t , es decir t + j , es conocida como Tabla Ultimada y de Grupos Seleccionados.

Propiedades Básicas de los Procesos de Markov
al tiempo (edad) t ≥ 0 . Denotaremos...