Actuario

Julián Moreno Mestre

www.juliweb.es tlf. 629381836

Chuletario de Geometría Analítica:
Ec. vectorial de la recta:
r = r0 + v ·t
( x, y, z ) = ( x0 , y 0 , z 0 ) + (v x , v y , v z )·t →

Ecuación paramétrica:
⎧ x = x0 + v x t
⎪
⎨ y = y0 + v y t
⎪z = z +v t
0
z
⎩

Ec. de la recta en forma continua:
x − x0 y − y 0 z − z 0
=
=
vx
vy
vz

Ec. de la recta que pasa por dospuntos:
x − x0
y − y0
z − z0
=
=
x1 − x0 x1 − x0 x1 − x0
Ecuación vectorial del plano: x = x0 + v ·t + u ·s → ( x, y, z ) = ( x0 , y 0 , z 0 ) + (v x , v y , v z )·t + (u x , u y , u z )·s
Ecuación paramétrica del plano: Ecuación general del plano:
Ax + By + Cz + D = 0
⎧ x = x0 + v x t + u x s
⎪
Vector perpendicular al plano:
⎨ y = y0 + v y t + u y s
n = ( A, B, C )
⎪z = z +v t +u s
0z
z
⎩
Calculo de la ecuación general del plano para los casos de:
2 vectores tangentes y un punto:
tres puntos:
Un punto y un vector
x − x0
y − y0
z − z0
x − x0 y − y 0 z − z 0
(Ec. Normal del plano):
n·( x − x0 ) = 0
x1 − x0 y1 − y 0 z1 − z 0 = 0
vx
vy
vz = 0
ux

uy

x 2 − x0

uz

y 2 − y0

( A, B, C )·(( x, y, z ) − ( x0 , y 0 , z 0 ) ) = 0

z 2 − z0

x = ( x, y,z ) ≡ Coordenadas de los puntos de la recta o del plano.
x0 = ( x0 , y 0 , z 0 ) ⎫
v = (v x , v y , v z ) ⎫
⎪
x1 = ( x1 , y1 , z1 ) ⎬ ≡ Puntos por los que pasa la recta o
⎬≡
el plano.
u = (u x , u y , u z ) ⎭
⎪
x2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )⎭

Vectores tangentes de la recta y el
plano.

Posición relativa de dos planos:
Ax + By + Cz + D = 0 ⎫
⎛A B C⎞
⎛ A B C D⎞
⎟ M* = ⎜
⎬→M =⎜
⎜ A'B' C ' ⎟
⎜ A' B' C ' D' ⎟
⎟
A' x + B' y + C ' z + D' = 0⎭
⎝
⎠
⎝
⎠
Secantes:
Paralelos:
Coincidentes:

Tienen en común los puntos de una recta. Rango(M) = Rango (M*) = 2
No tienen ningún punto en común. Rango(M) ≠ Rango (M*) = 2
Tienen todos sus puntos en común. Rango(M) = Rango (M*) = 1

Posición relativa de tres planos:
Ax + By + Cz + D = 0 ⎫
⎛ A B' C ⎞
⎛ A B C D⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎪A' x + B' y + C ' z + D' ' = 0 ⎬ → M = ⎜ A' B' C ' ⎟ M * = ⎜ A' B' C ' D' ⎟
⎜ A' ' B' ' C ' ' ⎟
⎜ A' ' B' ' C ' ' D' ' ⎟
A' ' x + B' ' y + C ' ' z + D' = 0⎪
⎭
⎝
⎠
⎝
⎠
Rango(M) Rango(M*) Posición de tres planos:
3
3
Planos secantes en un punto.
2
3
Planos secantes dos a dos o dos planos paralelos con uno secante a ambos.
2
2
Los 3 planos interseccionan en una recta.
1
2Planos paralelos, o uno plano y dos coincidentes.
1
1
Planos coincidentes

Posiciones relativas de dos rectas:
⎧r0 = ( x0 , y0 , z0 ) ⎫
r = r0 + v ·t → ⎨
⎪
⎛ vx
⎩ v = (v x , v y , vz ) ⎪
⎜
⎬ → M = ⎜ vy
′′′
⎧ r0 ' = ( x0 , y0 , z0 ) ⎪
⎜
r ' = r0 '+ v '·t ' → ⎨
⎝ vz
⎪
v = (v ′ , v ′ , v ′ ) ⎭
x
y
z
⎩
Secantes: Tienen en común un punto.

Rango( M ) = 2

Rango( M *) = 2Cruzadas: No tienen ningún punto en común y no es posible
situarlas en un mismo plano.

Rango( M ) = 2

Rango( M *) = 3

v′ ⎞
x
⎟
v′ ⎟
y
⎟
v′ ⎠
z

⎛ vx
⎜
M * = ⎜ vy
⎜v
⎝z

v′
x
v′
y
v′
z

′
x0 − z0 ⎞
′⎟
y0 − y0 ⎟
′⎠
z0 − z 0 ⎟

Paralelos: No tienen ningún punto en común y es posible
situarlas en un mismo plano.

Rango( M ) = 1

Rango( M *) = 2

Coincidentes:Tienen todos sus puntos en común.

Rango( M ) = 1

Rango( M *) = 1

Julián Moreno Mestre

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Propiedades métricas:
Ángulo que forman dos rectas secantes:

x = x0 + v ·t

x = x ' 0 +v '·t '

Distancia entre rectas que se cruzan:

⎛ v ·v ' ⎞
⎟
v ·v' ⎟
⎝
⎠

α = arccos⎜
⎜

r ≡ x = x0 + v ·t ⎫
( x0 − x '0 )·(v × v ' )
⎬ → d (r , s) =
s ≡ x = x'0 + v '·t '⎭
v ×v'
Angulo de recta y plano secantes:

Ángulo que forman dos planos secantes:

⎛ n ·n ' ⎞
Ax + By + Cz + D = 0 ⎫
⎟
⎬ α = arccos⎜
⎜ n · n' ⎟
A' x + B' y + C ' z + D' = 0⎭
⎝
⎠

⎛ v ·n ⎞
Ax + By + Cz + D = 0⎫
⎬ → α = arcsin ⎜
⎜ v ·n ' ⎟
⎟
x = x 0 + v ·t ⎭
⎝
⎠

Distancia de un punto P a un plano:

Distancia de un punto a una recta:

π ≡ Ax + By + Cz + D =...