adada

CAPÍTULO 4 Las Ciencias Formales.
4.1. La matemática: constructos formales y realidad.
Cohen y Nagel advierten que una demostración es una prueba lógica, fáctica de las premisas o conclusiones involucradas. En lógica, aritmética, geometría, la verdad de las proposiciones no se demuestra mediante ningún método experimental. Una prueba lógica es un “señalamiento” de las implicancias entre unconjunto de proposiciones llamadas “AXIOMAS” (que no se demuestran) y otras preposiciones llamadas “TEOREMAS” (que sí deben demostrarse).
Desde el punto de vista lógico, una demostración puede verse como un argumento cuyas premisas son los axiomas o postulados, y la conclusión, la conjunción de todos los teoremas deducidos. A diferencia de las proposiciones de las ciencias fácticas, sólo los“vacíos” teoremas deducidos de los axiomas son verdaderos, pero no dicen nada acerca del mundo. El epistemólogo español, Jesús Mosterín (2000) afirma que somos como las arañas, y las teorías de las ciencias formales son como las redes o telas de araña con las que tratamos de capturar el mundo.
La aplicabilidad de las ciencias formales a la realidad es objeto de discusión filosófica. Karl Popper(1983) afirma que la creencia en que cualquiera de los cálculos de la aritmética es aplicable a cualquier realidad es insostenible.
La concepción clásica sobre la metodología de las ciencias formales se encuentra ya en Aristóteles, cuando destaca los tres supuestos fundamentales de la ciencia demostrativa: el supuesto de deducibilidad, el de evidencia y el de realidad. La deducibilidad admite quela ciencia demostrativa debe partir de ciertos principios, los indefinibles, que servirán para definir cualquier otro término, y, por otro lado, deberá partir de los indemostrables o axiomas para demostrar todas las otras verdades de esa ciencia mediante el empleo de reglas. El supuesto de evidencia exige que los axiomas sean de tal naturaleza que se los pueda aceptar como verdaderos sindemostración.
Las definiciones son las encargadas de declarar unívocamente el ser de las cosas y por ello serian verdaderas. Estos dos supuestos se admiten junto al supuesto de realidad, puesto que, para Aristóteles, “ciencia” es siempre “ciencia de la realidad”.
Los Elementos de la Geometría de Euclides, que datan aprox. Del año 300 a.C durante más de dos mil doscientos años fue considerado como elmodelo de las ciencias matemáticas y como el espejo de la exactitud científica. Euclides comienza por definir algunos términos. La primera definición sostiene:


Y la segunda definición:

Proporciona un grupo de postulados y un grupo de axiomas. Los postulados son los siguientes:
1. Desde cualquier punto a cualquier otro se puede trazar una recta.
2. Toda recta limitada puede prolongarseindefinidamente en la misma dirección.
3. Con cualquier centro y con cualquier radio se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Si una recta, al cortar a otras dos, forma de un mismo lado ángulos internos menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en que están los ángulos menores que dos rectos.
Entrelos axiomas se encuentran los siguientes:
“Cosas iguales a una misma cosa, son iguales entre sí”.
“Si a cosas iguales se le agregan cosas iguales, las sumas son iguales”.
Saccheri (1667-1733) no demostró que la geometría euclideana es contradictoria sino que es incompatible con otras. Boole y De Morgan a mediados del siglo XIX, constituyeron un estímulo para que distintas disciplinasincorporaran desarrollos cada vez más generales. Queda claro que Euclides no es la última palabra en geometría, como se creyó durante siglos, ya que se pueden construir nuevos sistemas geométricos empleando axiomas distintos e incluso incompatibles con los de Euclides. El único problema que el matemático tiene que afrontar no es saber si los enunciados de partida que utiliza son verdaderos, sino si...