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Páginas: 10 (2442 palabras)
Publicado: 27 de abril de 2010
APROXIMACIONES DE LA FÓRMULA DE TAYLOR CON EL MATHEMATICA
Luisa Lucila Lazzari
ilazzari@econ.uba.ar
Andrea Parma
matejuan1@yahoo.com.ar
Julio C. Ferreiro
jcferreiro@speedy.com.ar
1ª Cátedra de Análisis Matemático II
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Julio 2006
1- INTRODUCCION
Este trabajo forma parte de una investigación iniciada en el año2005, que consiste en el diseño y desarrollo de aplicaciones del software Mathematica como herramienta de cálculo simbólico y numérico, y recurso didáctico, para ser usada en la enseñanza de las asignaturas Análisis Matemático I y II.
El objetivo fundamental es que el alumno desarrolle algunas actividades con el programa Mathematica que le permitan facilitar la construcción del conocimiento de lostemas desarrollados en las clases teóricas. Las ventajas del uso de la tecnología en la educación matemática son muy significativas, pues permite un manejo más dinámico de múltiples sistemas de representación de objetos matemáticos.
En esta presentación se analizan diferentes casos de aproximación de funciones, expresadas en forma explícita o definidas implícitamente por una ecuación, mediantelas fórmulas de Taylor y de Mac Laurin. Este tema desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática aplicada y computacional.
Además de obtener la fórmula de Taylor con el Mathematica, se visualizan y comparan los gráficos de la función original con sus aproximaciones lineales, cuadráticas y de orden superior. Para el caso de funciones de dos variables independientes se realiza elgráfico de las curvas de nivel y se muestran sus diferencias.
2. Polinomio de Taylor para funciones de una variable independiente
2.1. Desarrollo de la función f : ( ( ([pic] en la proximidad de x= 0
El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n.
Su sintaxis es:Series[f, {var, a, n}]
En primer lugar se considera una función sencilla [pic] y se obtiene el desarrollo de Mac Laurin, hasta orden 5.
en la que [pic] representa el resto o cota de error de Lagrange que se obtiene al aproximar la función [pic] mediante un polinomio de 5º grado.
Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es [pic] (Figura 1) con el Mathematica, considerando [pic]. Paratrabajar más cómodamente se define la función a utilizar mediante la forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise
Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor algunas de sus características.
Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio [pic] cuya gráfica (Figura 2) es de grado 0, pues[pic]
Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues [pic]. Se grafican estos polinomios, designándolos [pic] (Figura 3).
Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado, [pic], que son iguales pues [pic]. Su gráfica se muestra en la Figura 4.
2.2. Visualización simultánea de funciones
Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejescartesianos, se utiliza el comando Show del Mathematica.
La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.
En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.
Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se utiliza la opción GraphicsArray, combinadacon Show (Figura 7).
3. SERIE DE TAYLOR
Sea una función de una variable independiente con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo [pic], con [pic].
La fórmula de Taylor es:
[pic] con [pic]y [pic].
La serie de Taylor [pic]
representa a la función f en el intervalo [pic] si y solo si [pic].
3.1. La serie de Taylor para la función [pic]
En 2.1. se desarrolló la...
Luisa Lucila Lazzari
ilazzari@econ.uba.ar
Andrea Parma
matejuan1@yahoo.com.ar
Julio C. Ferreiro
jcferreiro@speedy.com.ar
1ª Cátedra de Análisis Matemático II
Facultad de Ciencias Económicas
Universidad de Buenos Aires
Julio 2006
1- INTRODUCCION
Este trabajo forma parte de una investigación iniciada en el año2005, que consiste en el diseño y desarrollo de aplicaciones del software Mathematica como herramienta de cálculo simbólico y numérico, y recurso didáctico, para ser usada en la enseñanza de las asignaturas Análisis Matemático I y II.
El objetivo fundamental es que el alumno desarrolle algunas actividades con el programa Mathematica que le permitan facilitar la construcción del conocimiento de lostemas desarrollados en las clases teóricas. Las ventajas del uso de la tecnología en la educación matemática son muy significativas, pues permite un manejo más dinámico de múltiples sistemas de representación de objetos matemáticos.
En esta presentación se analizan diferentes casos de aproximación de funciones, expresadas en forma explícita o definidas implícitamente por una ecuación, mediantelas fórmulas de Taylor y de Mac Laurin. Este tema desempeña un papel importante en muchas áreas de la matemática aplicada y computacional.
Además de obtener la fórmula de Taylor con el Mathematica, se visualizan y comparan los gráficos de la función original con sus aproximaciones lineales, cuadráticas y de orden superior. Para el caso de funciones de dos variables independientes se realiza elgráfico de las curvas de nivel y se muestran sus diferencias.
2. Polinomio de Taylor para funciones de una variable independiente
2.1. Desarrollo de la función f : ( ( ([pic] en la proximidad de x= 0
El programa Mathematica tiene un comando llamado Series que permite obtener el desarrollo de una función f en serie de potencias en la proximidad de x = a hasta orden n.
Su sintaxis es:Series[f, {var, a, n}]
En primer lugar se considera una función sencilla [pic] y se obtiene el desarrollo de Mac Laurin, hasta orden 5.
en la que [pic] representa el resto o cota de error de Lagrange que se obtiene al aproximar la función [pic] mediante un polinomio de 5º grado.
Se realiza el gráfico de la función cuya fórmula es [pic] (Figura 1) con el Mathematica, considerando [pic]. Paratrabajar más cómodamente se define la función a utilizar mediante la forma genérica f [var_] = , así es fácil invocarla cuando se la precise
Nótese que la Figura 1 no está en la misma escala en ambos ejes, pero de este modo se aprecian mejor algunas de sus características.
Si se considera una aproximación de 1º orden, se obtiene el polinomio [pic] cuya gráfica (Figura 2) es de grado 0, pues[pic]
Luego se obtienen las aproximaciones de 2º y 3º orden que son iguales y de grado 2, pues [pic]. Se grafican estos polinomios, designándolos [pic] (Figura 3).
Se calculan los polinomios de 4º y 5º grado, [pic], que son iguales pues [pic]. Su gráfica se muestra en la Figura 4.
2.2. Visualización simultánea de funciones
Para visualizar dos o más gráficos en el mismo sistema de ejescartesianos, se utiliza el comando Show del Mathematica.
La gráfica de la función original y su aproximación de grado 2, se presentan en la Figura 5.
En la Figura 6 están representadas todas las aproximaciones obtenidas, junto con la función original.
Si se desea dibujar todas las aproximaciones en una matriz de gráficos para su mejor visualización, se utiliza la opción GraphicsArray, combinadacon Show (Figura 7).
3. SERIE DE TAYLOR
Sea una función de una variable independiente con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo [pic], con [pic].
La fórmula de Taylor es:
[pic] con [pic]y [pic].
La serie de Taylor [pic]
representa a la función f en el intervalo [pic] si y solo si [pic].
3.1. La serie de Taylor para la función [pic]
En 2.1. se desarrolló la...
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