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Universidad Católica del Norte
Facultad de Ciencias
Departamento de Matemáticas

CORRECCIÓN 1ª PRUEBA DE CÁTEDRA DE CÁLCULO 1 (Cálculo y
Geometría Analítica)
Miércoles 11 de abril de 2012Tiempo estimado 100 minutos
I.- Complete las siguientes proposiciones para que sean verdaderas:
(0.5 puntos cada uno)
[𝒃, +∞)

1) El intervalo que representa a todos los números reales
mayores oiguales a b, es
2) Sean 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ,
que

tal que 𝑎𝑏 = 0 entonces se cumple

3) Si en una desigualdad, se multiplican ambos lados por
un número negativo entonces
4) Si 𝑘 > 0 𝑦 𝑥 ≤ 𝑘, el conjuntosolución es
5) Si 𝐾 > 0, el conjunto solución de 𝑥 2 ≥ 𝐾 es

6) La desigualdad 𝑎 < 𝑥 ≤ 𝑏
desigualdades

es equivalente a las

7) 3, +∞ ∩ −1, 5 =

Cambia
el
desigualdad

sentido

𝑔 𝑥 = 12− 3𝑥 2 es

10) El recorrido de la función 𝑓 𝑥 = 4 + 𝑥 2 es

de

[−𝑘, 𝑘]
−∞, − 𝐾

∪ [ 𝐾, +∞)

𝑎 6

Solución:
𝑥2 − 𝑥 > 6 ⟺ 𝑥2 − 𝑥 > 6

∨

𝑥2 − 𝑥 − 6 > 0

∨

𝒙−𝟑 𝒙+𝟐 > 0

𝑥2 − 𝑥 <−6

(1 punto)

𝑥2 − 𝑥 + 6 < 0
𝒙∉ℝ

(1 punto)

(1 punto)

Valores críticos: -2,3

−∞
𝑥−3
𝑥+2

−2
+

𝒙−𝟑 𝒙+𝟐

+∞

3
+
-

+
+
+

Conjunto solución: −∞, −𝟐 ∪ (𝟑, +∞)

(1punto)

b) Se requiere fabricar una gran
puerta, tal como se muestra en
la figura. La puerta tiene un
área de 12 m2. Si el ancho
toma valores entre 2 y 3 metros
(ambos
valores
inclusive).¿Entre qué valores debe estar
el alto total?

4

y

x

Solución:
x e y son cantidades positivas
Área de la figura es: 𝑥𝑦 + 2𝑥 = 12 (1 punto)
12
𝑥 = 𝑦+2
12

Entonces: 2 ≤ 𝑦 +2 ≤ 3
1 𝑦+2 1
≤≤
3
12
2

(1 punto)

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4≤𝑦+2≤6
6 ≤ 𝑦 + 4 ≤ 8 (1 punto)
Respuesta: el alto total está entre 6 y 8 metros(ambos valores inclusive)
(1 punto)

Otra manera:
2≤

12
≤3
𝑦+2

2 𝑦 + 2 ≤ 12 ≤ 3(𝑦 + 2)
2𝑦 + 4 ≤ 12

Luego, 2 ≤ 𝑦 ≤ 4

∧

12 ≤ 3𝑦 + 6

2𝑦 ≤ 8 ∧

6 ≤ 3𝑦

𝑦≤4 ∧

𝑦≥2

y...