adams moulthon

Páginas: 8 (1832 palabras) Publicado: 17 de octubre de 2014
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18 de octubre del 2014




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Métodos Multipaso

Proyecto Final – Métodos Numéricos






















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Métodos multipaso

Los métodos estudiados hasta ahora son llamados métodos de un paso, porque la aproximación de la solución en el punto i + 1 de la malla se obtiene coninformación proveniente de la aproximación obtenida en el punto i. Aunque hay algunos métodos (Runge-Kutta) que utilizan información en puntos interiores del intervalo [ti, ti+1], no la conservan para utilizarla directamente en aproximaciones futuras. Toda la información que emplean se obtiene dentro del subintervalo en que va a aproximarse la solución.

Como, en el momento de calcular laaproximación en el punto ti+1, la solución aproximada está disponible en los puntos to,t_1,…..t_i de la malla, antes de obtener la aproximación en ti+1, y como el error |wi – y(ti)| tiende a aumentar con i, parece razonable desarrollar métodos que usen estos datos precedentes más precisos al obtener la solución en ti+1. Se conocen como métodos multipasos a aquellos que emplean la aproximación en másde uno de los puntos de red precedentes para determinar la aproximación en el punto siguiente.

La fórmula general de los métodos multipasos está dada por:
(1)


Definición:
Un método multipasos de p pasos para resolver el problema de valor inicial



(2)


Es aquel método cuya ecuación de diferencias para obtener la aproximación wn+1 en el punto tn+1 de la malla definida por {tn =a + h n, n = 1, ..., N}, con h = (b-a)/N, puede representarse por medio de la siguiente ecuación, donde p es un entero mayor que 1:




(3)



para n = p-1, p, …, N-1, donde h = (b-a)/N, a0, a1, …, ap, b-1, …, bp son constantes y seespecifican los valores iníciales w0 = a0, w1 = a1, w2 = a2, …, wp-1 = ap-1. Se toma generalmente de la condición inicial el valor w0 = a (el dato de la condición inicial) y los demás valores necesarios para iniciar el método se obtienen con un método de Runge-Kutta u otro método de un paso.

Métodos de Adams
A partir de la formula ya dada que es usada para los métodos multipaso:
(1)
Se puededemostrar que esta fórmula da el valor exacto para y(tn+1) cuando y(t) es un polinomio de grado menor o igual a k si se cumplen las siguientes restricciones de exactitud:
(5)
Las restricciones de exactitud dadas en (5) suelen ser llamadas restricciones de consistencia. Los métodos numéricos multipasos dados por (1) que cumplen la condición (5) se dicen "consistentes". Para un polinomio dadode grado k, estas restricciones pueden ser satisfechas por una amplia variedad de posibilidades. Muchas familias de métodos han sido desarrolladas predefiniendo algunas de las relaciones entre los coeficientes.
La familia de los métodos de Adams, por ejemplo, está definida mediante la asignación del valor 0 a los coeficientes a1, a2, ..., ap de la fórmula (1), quedando sólo el coeficiente a0, quedeberá tomar el valor 1 para cumplir con la primera de las restricciones de consistencia (5), y se toma p = k -1,. Así, la fórmula de los métodos de Adams, queda reducida a:
(6)

Los métodos de Adams, dados por la fórmula (6), pueden ser clasificados en dos grupos, explícitos o implícitos, según cómo se haga la elección del coeficiente b-1

Cuando b-1= 0, el método es explícito oabierto, ya que la ecuación (3) da de manera explícita el valor de wn+1 en función de los valores previamente determinados.



(3)


Cuando b-1≠ 0, el método es implícito o cerrado, ya...
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