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UNIVERSIDAD ANDRES BELLO
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
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DEPTO. DE MATEMATICAS
INTRODUCCION A LAS MATEMATICAS FMM012

Gu´ 11
ıa
Trigonometr´
ıa
1. Determinar los valores de las funciones trigonom´tricas del angulo α definido por el
e
´
punto P , el origen de coordenadas y el eje de las x positivo.
a) P = (−1, 0).

c) P = (−1, −4).

b) P = (−2, 6).

d ) P = (3. − 5).

2. Encada caso, determinar los valores de las restantes funciones trigonom´tricas sabiendo
e
que:
a) sen(α) = − 1 , con α en el tercer cuadrante.
2
2
b) cos(α) = 5 , con α en el cuarto cuadrante.

c) tan(α) = 2, con α en el tercer cuadrante.
d ) sen(α) =

1
3

y cos α < 0.

3. Determine, sin usar calculadora, el valor num´rico de las siguientes expresiones:
e
a) cos(225o )

g)sen(315o )

b) tan(150o )

e) cot( 7π )
4

h) cos(−150o )

c) sen(− π )
6
4.

d ) sec( 4π )
3
f ) csc(300o )

i ) tan(135o )

3
a) Si α y β son ´ngulos interiores de un tri´ngulo rect´ngulo, y cos α = 5 , calcular
a
a
a

sen 2α − 3 cos 2β
tan β + cot α
b) Si 3 cot α = 2 con α en el tercer cuandrante, calcule
10 sen α − 6 cos α
4 sen α + 3 cos α
c) Si cot α =

a
2

conα en el primer cuadrante, calcule sen α.

d ) Si sen(x) tan(x) = 2, calcule cos(x).
e) Si α =

11π
,
4

determine el valor de sen2 α − cos2 α + 2 tan α.

5. Demostrar las siguientes identidades:
cos(α + β)
1 − tan(α) tan(β)
=
cos(α − β)
1 + tan(α) tan(β)
√
π
4 tan(x) + 3 sec2 (x)
b) tan(x + ) =
3
sec2 (x) − 4 tan2 (x)

a)

c)

tan(x)
sen(x) cos(x)
−
=0
cos(2x)
1− tan2 (x)

d)

sen(α) + sen(2α)
= tan(α)
1 + cos(α) + cos(2α)

e) cos(2α) =
f)

csc2 (α) − 2
csc2 (α)

cos(2α)
1 + tan(α)
=
1 − sen(2α)
1 − tan(α)

6. Resuelva para x en el intervalo indicado:
a) 1 + cos(x) = 0, x ∈ [0, 2π).

g) sen2 (x) + 2 cos(x) = −2, x ∈ [0, 2π).

b) 1 − sen(x) = 0, x ∈ [0, 2π).
√
c) 1 + 2 sen(x) = 0, x ∈ [0, 2π).

h) 2 cos2 (x) + 3 sen(x) = 0, x ∈[0, 2π).

d ) 4 cos2 (x) − 3 = 0, x ∈ [0, 2π).

j ) sec(x) + tan(x) = 1, x ∈ [0, 2π).

e) 2 sen2 ( x ) − 3 sen( x ) + 1 = 0, x ∈
2
2
[0, 2π).

k ) cos(5x) + cos(3x) = 0, x ∈ [0, π].

f ) sen(2x) = sen(x), x ∈ (−∞, ∞).

i ) 2 sen(x) cos(x) = cos(x), x ∈ [0, 2π).

l ) sen(5x)−sen(3x) = sen(x), x ∈ [0, π ].
2
m) cos(3x) − cos(x) = sen(x), x ∈ [0, π].

7. Resuelva los siguientesproblemas:
a) Desde un faro de 25 metros de altura se observa un bote situado en un punto A.
Cuando el bote se aleja 20 metros, el angulo de elevaci´n desde ´ste hacia el faro
´
o
e
◦
es de 30 . Determinar la distancia final entre el bote y el extremo inferior del faro.
b) El extremo A de una escalera, se encuentra apoyado a una altura h del piso,
formando un angulo de 30◦ con la pared.Resbala y su extremo superior desciende
´
un metro y queda formando un angulo de 60◦ con la pared. ¿Cu´l es la altura de
´
a
la escalera?
c) Desde lo alto de un edificio de h metros de altura se observa una persona con
un angulo de depresi´n de 15◦ . La persona camina 10 metros hacia el edificio y
´
o
observa el tope de ´ste con un angulo de elevaci´n de 30◦ . Calcular la altura del
e
´
oedificio.
d ) ¿Qu´ altura tiene un ´rbol si arroja una sombra de 6 metros de largo en el moe
a
mento que el angulo de elevaci´n del sol es de 35◦ ?
´
o

e) Desde el extremo superior de un monumento, el angulo de elevaci´n hasta el
´
o
◦
remate de un edificio es de 60 y el angulo de depresi´n de la base es de 45◦ . Si la
´
o
altura del edificio es de 40 metros, calcular la altura delmonumento.
f ) Desde el pie de un poste, el ´ngulo de elevaci´n de la punta de un campanario es
a
o
de 60◦ , desde la parte superior del poste, que tiene 9 metros de altura, al angulo
´
◦
de elevaci´n es de 30 . Hallar la altura del campanario y la distancia de ´ste al
o
e
poste.
g) Desde un faro, el angulo de depresi´n con que se observa un bote, en direcci´n
´
o
o
◦
sur, es de...