Adc Problemas

COLECCION DE PROBLEMAS
˜ ANALISIS Y DISENO DE CIRCUITOS Grados en Ingenier´ de Sistemas de Comunicaciones y Sistemas Audiovisuales ıa Universidad Carlos III de Madrid Problemas de R´gimen Permanente Sinusoidal e Versi´n de 3 de febrero de 2013 o

SOLUCION

BO

RR

AD O

R

1. Un sistema LTI (lineal invariante) alimentado por una se˜al sinusoidal x(t) = cos(ωt) ha n alcanzado sur´gimen permanente. En dicho sistema se pueden medir tres se˜ales, a(t), b(t) e n y c(t): a) ¿Qu´ se puede decir de las se˜ales a(t), b(t) y c(t)? e n b) Si c(t) = a(t) + b(t), donde a(t) = Ap cos(ωt + φa ) b(t) = Bp cos(ωt + φb ) calcule, utilizando el concepto de fasor, la se˜al c(t). n √ Particularice el resultado para Ap = 2, Bp = 1, φa = π rad y φb = π/4 rad. c) Sea p(t) = a(t)b(t). ¿Puederepresentarse la se˜al p(t) mediante fasores? Demuestre que n p(t) es una se˜al peri´dica y que su valor medio es: n o

donde T es el periodo de las se˜ales a(t) y b(t), y A y B son los fasores correspondientes n a las se˜ales a(t) y b(t), respectivamente. n Respuesta:

BO

b) Los fasores describen cada se˜al sinusoidal mediante un n´mero complejo cuyo m´dulo n u o coincide con la amplitud de lase˜al, y cuyo argumento coincide con la fase de la se˜al en n n un determinado origen de tiempos t = 0. a(t) = Ap cos(ωt + φa ) −→ A = Ap ejφa b(t) = Bp cos(ωt + φb ) −→ B = Bp ejφb

Teniendo en cuenta que en r´gimen permanente sinusoidal (RPS) se asume que todas las e se˜ales var´ con la misma frecuencia (o pulsaci´n), con la informaci´n de amplitud y n ıan o o fase dada por el fasor se conoce elvalor de la se˜al en todo instante. n Dicha frecuencia es un par´metro del an´lisis RPS y est´ impl´ a a a ıcita en todos los fasores. Para recuperar la se˜al en el dominio del tiempo solo hay que hacer expl´ n ıcita dicha variaci´n o sinusoidal aprovechando las propiedades de la exponencial compleja (identidad de Euler): A −→ a(t) = Re Aejωt = Re Ap ejφa ejωt = Re Ap ej(ωt+φa ) = Ap cos(ωt + φa )B −→ b(t) = Re Bejωt = Re Bp ejφb ejωt = Re Bp ej(ωt+φb ) = Bp cos(ωt + φb ) 1

RR

a) Un sistema LTI se caracteriza por el hecho de que ante una se˜al de entrada con variaci´n n o de tipo sinusoidal, responde con se˜ales sinusoidales de la misma frecuencia que la de la n se˜al de entrada. Las se˜ales a(t), b(t) y c(t) son, por tanto, se˜ales sinusoidales de igual n n n frecuencia, pero conamplitudes y fases diferentes: a(t) = Ap cos(ωt + φa ) b(t) = Bp cos(ωt + φb ) c(t) = Cp cos(ωt + φc )

AD O
0

< p(t) >=

1 T

T

p(t) dt =

1 Re {AB ∗ } 2

R

Si c(t) = a(t) + b(t), entonces c(t) es una se˜al de la misma frecuencia que a(t) y b(t) n cuyo fasor est´ dado por la suma compleja de los fasores A y B, gracias a la linealidad del a operador Re {·}: C = A + B −→ c(t) =Re (A + B)ejωt = Re Aejωt + Bejωt = Re Aejωt + Re Bejωt = a(t) + b(t) La suma compleja se realiza descomponiendo cada fasor en su parte real y parte imaginaria: C = A cos φa + jA sin φa + B cos φb + jB sin φb = A cos φa + B cos φb + j(A sin φa + B sin φb ) Para expresar c(t) en el dominio del tiempo conviene obtener la forma polar de C: |C| = Re {C}2 + Im {C}2 = Im {C} Re {C} (A cos φa + B cos φb)2 + (A sin φa + B sin φb )2 A sin φa + B sin φb A cos φa + B cos φb ± Kπ, K ∈ {0, 1}

donde Re {x} significa “parte real de x”.

donde el valor de K debe elegirse de forma que argumento del complejo C sea coherente con los signos de su parte real e imaginaria. Una vez obtenida la forma polar de C, la expresi´n de c(t) puede obtenerse de forma directa: o c(t) = Re Cejωt = Re |C| ej Arg{C} ejωt= |C| cos(ωt + Arg {C}) Con los datos del ejercicio: √ √ jπ 2e = − 2 √ √ 2 2 jπ 4 = +j B=e 2 √ 2 3π 2 C =A+B = (−1 + j) = ej 4 2 A= c(t) = cos(ωt + 3π/4)

por lo tanto:

BO

c) La se˜al p(t) es peri´dica, pero no de la misma frecuencia que a(t) y b(t). La expresi´n de n o o p(t) puede calcularse a partir de identidades trigonom´tricas: e p(t) = Ap Bp cos(ωt + φa ) cos(ωt + φb ) = Ap Bp...