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UNIVERSIDAD DEL BIO BIO
FACULTAD DE CIENCIAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
CC-MH-HV-CV-JV

Certamen Recuperativo Calculo III 220007
29 defebrero 2012

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1. (30 puntos)Considere la funci´on f : R → R definida por f (x, y) =

2x2 −y 3
x2 +y 4

0

si
si

(x, y) = (0, 0)(x, y) = (0, 0)

Se pide:
a) Estudie la continuidad de f en (0, 0).
b) Calcule las derivadas parciales de f en todo su dominio.
c)Analice la diferenciabilidad de f en (0, 0).
d ) Calcular la derivada direccional de f en (1, 1) en la direcci´on del vector (1, −1).
2. (15 puntos)Dos barcos que salieron al mismo tiempo del punto A van, uno hacia el norte y
el otro hacia el noreste. Las velocidades de dichos barcos son20 km/h y 40 km/h respectivamente. ¿Con qu´e velocidad aumenta la distancia entre ellos?.
3. (15 puntos) Un fabricante desea construir una cajade 72 unidades de volumen. ¿Qu´e dimensiones debe tener si se desea minimizar los costos, bajo las condiciones de que el fondo y la
tapacuestan el doble que los lados por unidades de ´area?
4. Resolver:
a) (25 puntos) Sea I =

0
−1

y+1
0

xdxdy +

1
0

1
0

xdxdy +2
1

1
y−1

xdxdy.

i) Grafique el dominio de la integral I
ii) Invertir el orden de integraci´on.
ii) Calcular el valor de I.
b)(15 puntos) Hallar el volumen del s´olido limitado por el cilindro de ecuaci´on x2 + y 2 = 4
y los planos de ecuaciones y + z = 4 y z = 0.