Adiccion

Problema 2:
Sea R3--->>>>> R4 tal que A(x1,x2,x3) =(x1,0, x2,x3).
Si ɸ1={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)} ; Ψ1={(1,0,0,0),(1,1,0,0),(1,1,1,0),(1,1,1,1)}
Hallar A ɸ1 Ψ1=?A(1,0,0)=(1,0,0,0)=a(1,0,0,0)+b(1,1,0,0)+c(1,1,1,0)+d(1,1,1,1)
A(1,1,0)=(1,0,1,0)=a’(1,0,0,0)+b’(1,1,0,0)+c’(1,1,1,0)+d’(1,1,1,1)
A(1,1,1)=(1,0,1,1)=a’’(1,0,0,0)+b’’(1,1,0,0)+c’’(1,1,1,0)+d’’(1,1,1,1)
De estamanera:
a=1 ; b=0 ; c=0 ; d=0 ;
a’=1 ; b’=-1 ; c’=1 ; d’=0 ;
a’’=1 ; b’’=-1 ; c’’=0 ; d’’=1 ;
A ɸ1 Ψ1=

1110-1-1
010001

Problema 6: A: R2---> R2,una aplicación lineal, cuya matriz según lasbases:
aij=2-135 ; ɸ={(2,0),(0.1)} ; Ψ={(1,1),(-1,1)}
i) ¿Es A un isomorfismo?
ii) A-1=? ¿A tiene inversa?

1.- Hallamos primero las transformaciones lineales, hago referencia a 2 porqueno sé si es de ɸ a Ψ, o , de Ψ a ɸ.
De ɸ a Ψ
Determinaremos la imagen del vector genérico (x,y) ϵ R2 y para esto expresaremos a (x,y) como combinación lineal de la base dada.(x,y)=a(2,0)+b(0,1)=(2a,b)

x=2a ---> a=x/2
y=b ---> b=y
x,y=x22,0+y(0,1)
Previamente de la matriz aij=2-135:
A(2,0)=2(1,1)+3(-1,1)=(-1,5)A(0,1)=-1(1,1)+5(-1,1)=(-6,4)
Luego
Ax,y=x2A2,0+yA0,1=x2-1,5+y-6,4=(-x2-6y,5x2+4y)
La transformación es Ax,y=(-x2-6y,5x2+4y)
De Ψ a ɸ
(x,y)=a(1,1)+b(-1,1)=(a-b,a+b)
x=a-b a=(x+y)/2
y=a+bb=(y-x)/2
x,y=x+y21,1+y-x2(-1,1)
Previamente de la matriz aij=2-135:
A(1,1)=2(2,0)+3(0,1)=(4,5)
A(-1,1)=-1(2,0)+5(0,1)=(-2,5)
Luego
Ax,y=x+y2A1,1+y-x2A-1,1=x+y24,5+y-x2-2,5=(3x+y,5y)
Latransformación es Ax,y=(3x+y,5y)

2.-Probamos Inyectividad
De ɸ a Ψ
Sean (x,y),(a,b) ϵ R2 tales que A(x,y)=A(a,b)
-x2-6y,5x2+4y=(-a2-6b,5a2+4b)
-x2-6y=-a2-6b
5x2+4y=5a2+4b

x=a ⋀ y=bLuego
A(x,y)=A(a,b) → (x,y),(a,b)
∴A es inyectiva

De Ψ a ɸ
Sean (x,y),(a,b) ϵ R2 tales que A(x,y)=A(a,b)
3x+y,5y=3a+b,5b
3x+y=3a+b
5y=5b
x=a ⋀ y=b
Luego
A(x,y)=A(a,b) →...