Adiel

Recta tangente

Pendiente
La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es la derivada de la función en dicho punto.

Ecuación de la recta tangente
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Problemas
Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.y' = 3x2 − 6x − 9;     x2 − 2x − 3 = 0 (simplificando por 3)
x1 = 3 y1 = −22
x2 = −1y2 = 10
A(3, −22) B(−1, 10)

Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2). Hallar el punto de tangencia.
Sea el punto de tangencia (a, f(a))
f' (x)= 3x2f' (a)= 3a2
3a2=3a = ±1
Las ecuaciones de la rectas tangentes son:
a = 1 f(a) = 1
y − 1 =3(x − 1) y = 3x−2
a = −1 f(a) = −1
y + 1= 3(x + 1) y = 3x + 2   
El punto (0, −2) pertenece a la recta  y = 3x−2.
Por tanto el punto de tangencia será (1, 1) .

Encontrar los puntos de la curva f(x) = x4 + 7x3 + 13x2 + x +1, para los cuales la tangente forma un ángulo de 45º con OX.
m = 1
f'(x) = 4x3 + 21x2 + 26x +1
4x3 + 21x2 + 26x +1 = 1
x = 0 x = −2 x z= 13/4
P(0, 4) Q(−2, 4)R(13/4, 1621/256)

Dada la función f(x) = tg x, hallar el ángulo que forma la recta tangente a la gráfica de la función f(x) en el origen, con el eje de abscisas.
f′(x) = 1 + tg² x       f′(0) = 1 = m
y = x
α = arc tg 1 = 45º

Hallar los coeficientes de la ecuación y = ax2 + bx + c, sabiendo que su gráfica pasa por (0, 3) y por (2, 1)., y en este último punto su tangente tiene dependiente 3.
Pasa por (0, 3) 3 = c
Pasa por (2, 1) 1= 4a + 2b + c
y' = 2ax + b 3 = 4a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 2 b = −5 c = 3

La gráfica de la función y = ax2 + bx + c pasa por los puntos (2, 3) y (3, 13). siendo la tangente a la misma en el punto de abscisa 1 paralela a la bisectriz del primer cuadrante. Hallar el valor numérico de a, b y c.
Pasa por (2, 3) 3 = 4a + 2b + cPasa por (3, 13)13 = 9a + 3b +c
y' = 2ax + b 1 = 2a + b
Resolviendo el sistema se obtiene:
a = 3 b = −5 c =1

Dada la función  f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, determina a, b, c y d; sabiendo que la curva pasa por los puntos (−1, 2) (2, 3), y que las tangentes a ellas en los puntos de abscisa 1 y −2 son paralelas al ejes de abscisas.
f(−1) = 2 −a + b − c + d = 2
f(2) = 3 8a + 4b + 2c + d =3
f′(−1) = 0 3a + 2b + c = 0
f′(2) = 0 12a − 4b + c = 0
a = − 2 /9 b = − 1 /3 c = 4/3 d = 31/9
Recta normal

Pendiente
La pendiente de la recta normal a una curva en un punto es la opuesta de la inversa de la pendiente de la recta tangente, por ser rectas perpendiculares entre sí.

La pendiente de la recta normal es la opuesta de la inversa de la derivada de la función en dichopunto.

Ecuación de la recta normal
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplos
Calcular la ecuación de la tangente y de la normal a la curva f(x) = ln tg 2x en el punto de abscisa: x = π/8.

Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 paralela ala bisectriz del primer cuadrante.
Sea el punto de tangencia (a, b)
m = 1
f'(a) = 2a + 12a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente:
y − 1 = x y = x +1
Recta normal:
m= 1P(0, 1)
y − 1 = −x y = −x + 1
Teorema de Rolle

El teorema de Rolle dice que:
Si f es una función continua en [a, b] y derivable en (a, b), tal que f(a) = f(b), hay algún punto c (a, b) en el quef'(c) = 0.

La interpretación gráfica del teorema de Rolle nos dice que hay un punto en el que la tangente es paralela al eje de abscisas.
Ejemplos
1. ¿Es aplicable el teorema de Rolle a la función f(x) = |x − 1| en el intervalo [0, 2]?

La función es continua en [0, 2].
No es aplicable el teorema de Rolle porque la solución no es derivable en el punto x = 1.

2. Estudiar si la función...