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Indeterminaciones
Véase también: Forma indeterminada.
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):
Operación | Indeterminación |
Sustracción | |
Multiplicación | |
División | |
Elevación a potencia | |
Ejemplo.
0/0 es una indeterminación, es decir, no esposible, a priori, saber cual es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:
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[editar] Regla de l'Hôpital
Artículo principal: Regla de l'Hôpital.
Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otras formasindeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.
*
Por ejemplo:
[editar] Límites trigonométricos
1.
2.
3.
4.
5.
[editar] Demostraciones
Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límitestrigonométricos, se utilizará la inecuación sin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0,π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límitenecesariamente vale 1:

El tercero de los límites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

La cotangente, abreviado como cot, cta, o cotg, es la razón trigonométrica inversa de la tangente, o también su inverso multiplicativo:

[editar] Forma geométrica

Sabiendo que:

Partiendo del triángulo AGF rectángulo en F, como ya se hadicho, tenemos que:

Donde el segmento AF vale uno:

Con lo que resulta:

[editar] Representación gráfica

[editar] Tangente y cotangente de un ángulo
Partiendo de la definición de cotangente como la inversa de la tangente:

y conociendo la función tangente de un ángulo:

podemos ver que para los valores en los que la tangente vale cero, la cotangente se hace infinito, si la funcióntangente tiende a cero desde valores negativos la cotangente tiende a: .

mientras que cuando la tangente tiende a cero desde valores positivos la cotangente tiende a: .

Este razonamiento de la tangente sobre la cotangente es recíproco para los valores en los que la cotangente se hace cero. Es fácil de ver que cuando la tangente de un ángulo vale uno, la cotangente de ese mismo ángulo tambiénvale uno.
* La tangente es una herramienta de trigonometría relacionada con el seno y el coseno. En este sitio web es usada en relación a la alidada.
Usted ya sabrá que los triángulos rectángulos son básicos en Trigonometría. Sea ABC un triángulo (dibujado) con C = 90° el ángulo recto y A, B los ángulos agudos. Sean también a, b y c las longitudes de sus tres lados: a del lado opuesto a A, bdel lado opuesto a B, y c, el más largo, opuesto a C.
Dos razones útiles asociadas con el ángulo A ("funciones trigonométricas de A") son:
El seno de A,    sen A= a/c         (implicando al lado a opuesto a A)
El coseno de A, cosA = b/c                (implicando al lado b contiguo a A)
Estas dos razones implican al lado largo c ("hipotenusa", en lenguaje matemático), y por cuanto a y bdeben ser más pequeños que ese lado, estas razones son siempre números menores que 1. Ahora añadiremos dos razones más a nuestra colección: la tangente y la cotangente:
La tangente de A, tan A = a/b                 (a veces escrita "tg A") .
Y la cotangente de A, cotan A = b/a = 1/tan A                            
Existe una simple relación entre ese par de razones primeras. Tenemos:
senA /...