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Cap´ ıtulo 1 N´ meros Aleatorios u
Al principio, los n´meros aleatorios se generaban en la forma manual o mec´nica u a utilizando t´cnicas: e

Lanzamiento de monedas Lanzamiento de dados Barajas Dispositivos mec´nicos a Dispositivos electr´nicos o

utilizando computadora es lo mas moderno que consiste en generan de manera sucesiva n´ meros pseudoaleatorios estos n´meros es una sucesi´n devalores que, aunque u u o son producidos de manera determinista, tienen todas la apariencia de ser una variable aleatorias uniforme e independiente en (0.1) Analizaremos algunos m´todos de generaci´n de n´meros pseudoaleatorios. e o u M´todo de congruencial multiplicativo e

1

Dado x0 semilla; a y m enteros positivos de manera recursiva se calcula los valores xn

xn = axn−1 mod m

(1.1)esto significa que axn−1 se divide entre m y el residuo se considera como xn , as´ xn ∈ ı {0, 1, 2, . . . m − 1} y el n´mero aleatorio es: u

xn m En general las constantes a y m deben satisfacer dos condiciones:

(1.2)

1. Para cualquier semilla inicial, el n´mero de variables (n´meros aleatorios)que u u se pueden generar antes de que comience la repetici´n es grande o 2. los valores sepueden calcular de manera eficiente en un computador

Para que se cumpla esto se debe considerar el computador, es decir el tama˜o de la n palabra del computador. Un computador de 32bits m = 231 − 1 y a = 75 , uno de 36bits parece que funciona con m = 235 − 31 y a = 55 Para nuestro caso vamos a sumir que se construyen los n´meros aleatorios, y tambi´n u e sabemos que que los computadores hoy en d´son muy bueno en la generaci´n de ıa o n´meros aleatorios. u

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Otro m´todo de generar n´meros pseudoaleatorio es el llamados congruenciales e u mixtos

xn = (axn−1 + c) mod m

(1.3)

Por ejemplo en MatLat el comando de generar n´meros aleatorio de una variable u aleatoria uniforme es: rand

Figura 1.1: rand(1,20)

Figura 1.2: rand(1,100) 3

Figura 1.3: rand(1,100)

1.1.1.1.1.

Generaci´n de variables aleatorias discretas o
El m´todo de la transformada inversa e

Dada una variable aleatoria discreta X con funci´n probabilidad de peso o

P [X = xj ] = pj ; j = 0, 1, . . .

(1.4)

pj = 1
j

(1.5)

generamos un n´mero aleatorio U ∼ U nif (0, 1) y sea la variable u

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   x0       x1     X = x2 . .  .      x  j 

U < p0 p0 ≤U < p0 + p1 p1 ≤ U < p0 + p1 + p2
j−1 j

pi ≤ U <
i=0 i=0

pi

Sabemos que P [a < U < b] = b − a si 0 < a < b < 1, se tiene que

j−1

j

P [X = xj ] = P [
i=0

pi ≤ U <
i=0

pi ] = pj

(1.6)

as´ tenemos la construcci´n de la variable aleatoria X ı o

Observaci´n 1 F (xj−1 ) ≤ U < F (xj ) =⇒ X = xj donde F es la funci´n de o o distribuci´n acumulada o Algoritmo: 1.Generar el n´mero aleatorio U u 5

2. si U < p0 hacer X = x0 terminar si U < p0 hacer X = x0 terminar si U < p0 + p1 hacer X = x1 terminar si U < p0 + p1 + p2 hacer X = x2 terminar si U < p0 + p1 + p2 + p3 hacer X = x3 terminar . . .

1.1.2.

Generaci´n de una variable aleatorio Poisson o

Sea X ∼ P o(λ) pi = P [X = i] = e−λ λi , i = 0, 1, . . . i!

aplicando el m´todo de transformadainversa inversa, usaremos lo siguiente: e

pi+1 = algoritmo recordemos

λ pi , i = 0, 1, . . . i+1

p = pi = P [X = i], F = F (i) = P [X ≤ i]

1. Generar U ∼ U (0, 1) 2. inicializando i = 0, p = e−λ , F = p 3. Si U < F ,entonces X=i salir. 4. sino p =
λ p, F i+1

= F + p, i = i + 1

5. ir al paso 3

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1.2.

Generaci´n de variables aleatorias continuas o

Teorema 1.1 Sea U ∼ U (0,1). Para cualquier funci´n de distribuci´n continua F , o o invertible, la variable aleatoria X definida como X = F −1 (U ) tiene distribuci´n F. o

Ejemplo 1 Sea X ∼ Exp(1), entonces su funci´n distribuci´n es: o o F (x) = 1 − e−x

su inversa es:

x = −ln(1 − u) por lo tanto,

X = F −1 (U ) = −ln(1 − U ) 7

Si X ∼ Exp(λ) la funci´n de densidad es: o

f (x) = y la funci´n de...