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INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER


Presentado por:
Ivan Choquemaqui Mamani
Brayan Borda Chunga
Alexei Mamani Coaquira
Miguel Zúñiga Llamoca
Donnie Emanuel Bellido Fernández






Contenido










INTRODUCCION

En 1807, Fourier, establece en los trabajos presentados en el instituto de Francia que: cualquier señal periódica puede ser representada por unaserie de sumas trigonométricas en senos y cosenos relacionadas armónicamente. 
Los argumentos establecidos por Fourier eran imprecisos y en 1829 Dirichlet proporcionó las condiciones precisas para que una señal periódica pueda ser representada por una serie de Fourier.
El análisis de Fourier fue introducido en 1822 en la “Théorie analyitique de la chaleur” para tratar la solución de problemasde valores en la frontera en la conducción del calor.

Más de siglo y medio después las aplicaciones de esta teoría son muy bastas: Sistemas Lineales, Comunicaciones, Física moderna, Electrónica, Óptica y por supuesto, Redes Eléctricas entre muchas otras.














INTRODUCCIÓN A LAS SERIES DE FOURIER

SUCESIONES Y SERIES
SUCECIÓN

Una sucesión es una lista ordenada deobjetos, cada uno de ellos denominado término o elemento.

Ejemplo de series

{1, 2, 3, 4,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35,...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás
{1, 2, 4, 8, 16, 32,...} es una sucesión infinita donde vamosdoblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1,...} es la sucesión que alterna 0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)

SERIE

Una serie es la generalización de la noción de suma a los términos de una sucesión infinita.Informalmente, es el resultado de sumar los términos: a1 + a2 + a3 + · ·  lo cual suele escribirse en forma más compacta con el símbolo de sumatorio: 


Ejemplos de Series






FUNCIONES PERIÓDICAS

Una función f(x) es periódica si existe un número p tal que satisfaga la siguiente condición, para todas las x:
f(x + p) = f(x)
Al menor valor que puede tomar p se le llama período.

LAFUNCIÓN SENO Y COSENO






La función seno es una función periódica de periodo 2 π













La función coseno es una función periódica de periodo 2 π















SERIE DE FOURIER

Condiciones de Dirichlet para las Series de Fourier

Como ya se describió anteriormente, una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente auna función periódica y continua a trozos o por partes. Pero para que una función periódica pueda ser representada por una Serie de Fourier debe cumplir ciertas condiciones, estas condiciones son conocidas como Las Condiciones de Dirichlet, que procedemos a enunciar a continuación.


Que f (t) tenga un número finito de discontinuidades en el periodo T, en caso de ser discontinua.
Que f (t) tenga un númerofinito de máximos y mínimos en un periodo T.
Que f (t) sea univaluada, excepto posiblemente en un número finito de puntos.
La integral debe ser convergente T/2∫ T/2 |f (t)|dt < ∞. Donde [T/2; T/2] quiere indicar el intervalo de definición de una función con periodo T.
Si se satisfacen estas condiciones, existe la serie de Fourier para f (t).

SERIE GENERALIZADA DE FOURIER

Sea F1 y F2 dosfunciones ortogonales en un intervalo a < x < b si se cumple que:


Ejemplo

= x2 y = x3 son ortogonales en -1 ≤ x ≤ 1 ya que:





Sea el conjunto de funciones ortogonales {Φ0, Φ1, Φ2, Φ3,…Φk} en el intervalo a ≤ x ≤ b entonces podemos representar una función cualquiera en el espacio funcional como una combinación lineal de funciones base:

C0Φ0 + C1Φ1 + C2Φ2 + C3Φ3…...