administracion

APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Rapidez de cambio

La expresión representa el cuociente entre la variación de la variable dependiente (función) y la variación experimentada por la variable independiente, por este motivo se le denomina razón media de cambio de la función f(x), cuando se toma el límite a esta expresión en que Δx → 0, es decir la derivada, se le denominatambién razón instantánea de cambio.

Este concepto se aplica también en cinemática al expresar la posición de un cuerpo con movimiento unidimensional en función del tiempo x = x(t), en tal caso la razón instantánea de cambio de la posición, corresponde al concepto de rapidez instantánea.



Para encontrar entonces la razón de cambio se debe determinar en primer lugar la relación entre lasvariables mediante una función y posteriormente obtener su derivada.

Ejemplo:

Encontrar la rapidez de variación del volumen de un cubo con respecto a la longitud de un lado.

Solución:

Si la relación entre el volumen de un cubo (V) y la longitud de uno de sus aristas (a) es:

V = a3 entonces obteniendo dV/da se tiene la variación, esto es: V´ = 3a 2


Ejemplo:

Se vierteagua en un estanque cilíndrico de 2 metros de radio basal y 4 metros de altura a razón de 50 litros por minuto. ¿Con que rapidez asciende el nivel del agua?

Solución:

Llamando h a la altura del nivel de líquido en cualquier momento, se puede expresar el volumen del contenido en función de h de la forma: V = π r2 h despejando h se tiene:

h = en que π y r son constantes, luegoderivando resulta:
pero dado que ingresa agua a razón de 50 litros por minuto (dV/dt) entonces:



Ejercicios:

1. Encuentre la rapidez instantánea de variación del área de un triángulo equilátero con respecto a su perímetro.
Sol.:




2. Un hombre de 1,8 metros de altura se encuentra cerca de un poste con su luz encendida a 4 metros de altura, si el hombre se aleja delposte con una rapidez de 0,5 m/s. ¿Con que rapidez se alarga su sombra?
Sol.:

3. Una escalera que tiene una longitud L (m) está apoyada en una pared, si su punto de apoyo con el suelo resbala alejándose de ella con una rapidez de 0,6 m/s, ¿Con que rapidez descenderá el punto de apoyo en la pared cuando el extremo en el piso esté a 1,5 m de la pared?
Sol.:

Máximos y mínimos de unafunción

Definición: Decimos que f(c) es el valor máximo absoluto de una función f en un intervalo (a,b) que contiene a c, si f(c) ≥ f(x) x (a,b). De manera análoga se define un valor mínimo absoluto de una función en su intervalo.

Teorema: Diremos sin demostración que si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces f(x) tiene un máximo y un mínimo en [a,b]


Extremosde una función.


f(x) A C
ED F

B
X
a b c d e fSea f(x) una función continua en el intervalo [a, f], en este intervalo, la función presenta dos valores máximos en A, C (f(a), f(c)) y un valor mínimo en B (f(b)), se conocen como máximos absolutos. Los puntos D, F corresponden a mínimos en su entorno y por lo tanto son mínimos relativos, análogamente E que corresponde a un máximo relativo.

Definición

Decimos que f(c) es un máximo...