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VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

Recordemos algunos conceptos.

Variable aleatoria. Sea S un espacio muestral asociado a un experimento. Una variable aleatoria es una función real X definida sobre S, es decir,
X : S  IR

Las variables aleatorias se clasifican en discretas y continuas.

Variable aleatoria discreta. Una variable aleatoria X se dice discreta si sólo puede tomar un númerofinito o infinito numerable de valores distintos.

Variable aleatoria continua. Una variable aleatoria X se dice continua si toma cualquier valor en un intervalo.

La clase pasada estudiamos las variables aleatorias discretas y sus distribuciones de probabilidad. Ahora vamos a estudiar las variables aleatorias continuas y sus distribuciones de probabilidad.

Consideremos en primer lugaralgunos ejemplos de variables aleatorias continuas:

La variable aleatoria que da la cantidad de precipitación diaria en un cierto lugar.
Toma valores en [0, )
La variable aleatoria que da las alturas (o pesos) de individuos de una cierta región.
Toma valores en [0, )
Otro ejemplo podría ser
La variable aleatoria que da el tiempo de vida útil de una computadora.
Toma valores en [0, )Como cualquier equipo puede medir hasta cierta cantidad de decimales en realidad en cualquiera de estos casos la variable aleatoria sólo puede tomar puede tomar cualquier número racional no negativo. Sin embargo a los fines prácticos se considera que puede tomar cualquier número real no negativo.
Además, considerando por ejemplo el último caso, es importante notar que, no significa que seobservaría en algún momento cualquier número real no negativo si se estudiaran una cantidad suficiente de computadoras. Lo que significa es que no se puede descartar ningún número real no negativo como un posible valor para el tiempo de vida útil de una computadora. Esto también se aplica a los otros ejemplos.

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DISTRIBUCIÓN DEPROBABILIDAD DE UNA VARIABLE ALEATORIA CONTINUA.

Como vimos la clase pasada, cuando se usan variables aleatorias para estudiar problemas estadísticos resulta de interés calcular, cuando se realiza el experimento asociado a X una vez, por ejemplo:

la probabilidad de que dicha variable tome algún valor determinado
P(X = x) = P( {s  S : X(s) = x} )

la probabilidad de que su valor sea menor oigual que determinado número
P(X  x) = P( {s  S : X(s)  x} )

la probabilidad de que su valor caiga dentro de ciertos límites
P(x1  X  x2) = P( {s  S : x1  X(s)  x2} ).

Estas probabilidades se pueden obtener a partir de la distribución de probabilidad de una variable aleatoria. Si X es una variable aleatoria discreta la definición de la distribución de probabilidad es lafunción p(x) que asigna a cada x la probabilidad de que la variable aleatoria X sea igual a x, p(x) = P(X = x).

Si p(x) = P(X = x) es la distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X, los valores p(x) cumplen,
1. 0  p(x)  1.
2. = 1

El concepto de distribución de probabilidad en el caso continuo es análogo al del caso discreto. Para establecer la analogía se define laFunción de distribución de una variable aleatoria (discreta o continua).
Sea X una variable aleatoria. La función de distribución de X, es
F(x) = P(X  x), para  < x < .


Propiedades de una función de distribución.
Si F(x) es una función de distribución, entonces:
1. F(x) = 0.
2. F(x) = 1.
3. Si x1 < x2, F(x1)  F(x2).
4. F(x) es continua por derecha.

1. Aunque puede demostrase apartir de la definición, es intuitivamente claro que
F(x) = (se escribe) F() = P(X  ) = P() = 0.
2. Similar a lo anterior
F(x) = (se escribe) F() = P(X  ) = P(S) = 1.
3. Si x1 < x2,
{X  x1}  {X  x2} P(X  x1)  P(X  x2)  F(x1)  F(x2).

La naturaleza de F(x) determinará si X es discreta o continua.


Ejemplo. El experimento consiste en tirar dos monedas distinguibles...