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Reglas de conteo_________________________________________________________Página 1 de 9

REGLAS DE CONTEO
1. Combinatoria
Para calcular probabilidades, con frecuencia será necesario contar el número de
elementos que tiene un conjunto. Por ejemplo, para conocer la probabilidad de
acertar una combinación de la lotería primitiva es preciso conocer el número de
combinaciones totales que sepueden elegir. La combinatoria es una rama de las
matemáticas que nos permite conocer este dato sin necesidad de enumerar las
13.983.816 combinaciones posibles que se pueden seleccionar.
1.1.- Principio de multiplicación
Si hay n1 opciones para elegir un objeto, n2 opciones para elegir un segundo
objeto, …, nk opciones para elegir un k-ésimo objeto, el número total de maneras
de elegir los kobjetos es n1  n2  ...  nk
Ejemplo:
Una marca de coches comercializa un determinado modelo en tres versiones: cinco
puertas, tres puertas y familiar. El motor puede ser diésel o gasolina. Finalmente,
hay disponibles cinco colores: rojo, blanco, gris, azul y verde. ¿Cuántos tipos de
coches diferentes se fabrican del mismo modelo?
De forma razonada, podemos deducir el principio demultiplicación y aplicarlo a
este caso concreto: por cada versión del modelo podemos elegir dos motores
diferentes y, a su vez, por cada motor podemos elegir entre cinco colores para la
carrocería.
Versión
3

Motor


2

Color


5

TOTAL
=

30

Se podrán fabricar 30 vehículos diferentes.
1.2.- Factorial de un número
Definición: Sea n un número natural mayor que 1. Se llama factorial den, y se
representa por n!, al producto de los n primeros números naturales. Esto es,

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n! n  (n  1)  (n  2)  ...  3  2  1
1.3.- Números combinatorios
 m
Definición: Se llama número combinatorio, y se representa por   , al valor del
n
 
cociente
 m
m!
 
 n  n!(m  n)!

El triángulo de Tartaglia o de Pascal representa estos números y nos permite
encontrar su valor para cualesquiera m y n, siendo práctico solamente si m y n son
menores de 10.

2.- Permutaciones
2.1.- Permutaciones ordinarias
Dado un conjunto de n elementos, A  {a1 , a2 ,..., an } , llamamos permutación de sus
n elementos, o permutación ordinaria, a cada sucesión distinta que se puedaformar
con sus n elementos.

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Así pues, dos permutaciones ordinarias, o simplemente permutaciones, sólo difieren
en el orden de sus elementos.
El número de permutaciones que se pueden formar es:
Pn  n! n  (n  1)  (n  2)  ...  2  1
Ejemplo: ¿De cuántas maneras diferentes se pueden alinear en unafila cinco
personas para una foto?
P5  5! 120
2.2.- Permutaciones con repetición
Supongamos que en cada permutación entran n elementos de los cuales
el elemento a1 se puede repetir 1 veces,
el elemento a2 se puede repetir  2 veces,
…
el elemento an se puede repetir  n veces,
de forma que 1   2  ... n  n . Entonces el número de permutaciones distintas que
se pueden formar esPn

 1 , 2 ,..., n



n!
1! 2!...   n !

Ejemplos:
1.- ¿Cuántas palabras diferentes, tengan o no sentido, se pueden formar con la
palabra mermelada?
El elemento m se repite 2 veces;
el elemento e se repite 2 veces;
el elemento a se repite otras 2 veces;
además tenemos otros 3 elementos que sólo aparecen una vez.
En total 9 elementos con repeticiones de 2,2,2. Permutacionestotales:

P9

2, 2, 2



9!
 45360
2!2!2!

2.- Se lanza una moneda al aire siete veces. ¿Cuántos resultados favorables hay de
que salgan 3 caras y 4 cruces?

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P7

3, 4



7!
 35
3!4!

3.- Variaciones
3.1.- Variaciones ordinarias
Dado un conjunto de n elementos, A  {a1...