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Factorización

Ejercicios de factorización

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José de Jesús Angel Angel
jjaa@math.com.mx

MathCon c 2007-2008

Contenido

1. Introducción 1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Encontrar un factor común 3. Encontrar más de un factor común 4. Trinomio cuadrado perfecto 5. Diferencia de cuadrados 6. TCP y DC7. Completando TCP y Diferencia de Cuadrados

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Introducción
El problema de la factorización es simplemente una aplicación de la propiedad distributiva de los números reales. Para cualquiera tres números reales a, b, c se cumple siempre que a(b + c) = ab + ac. Ir del lado izquierdo al lado derecho de la igualdad se llama distribuir a a sobre la suma b + c. Ir del ladoderecho al izquierdo de la igualdad se le llama factorización, factorizar a a. Es muy difícil hacer una clasificación de los diferentes casos dónde pueda aplicarse la factorización, en la práctica puede aparecer de muchas formas algunas inesperadas. La recomendación es hacer muchos ejercicios sin fijarse en que forma se encuentran. Quizá pueden darse algunas características generales donde puedeaparecer la factorización, en la siguiente lista damos algunos ejemplos resaltado esa característica.

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1.1. Notación
1. Una constante es un número real o una letra que representa a un número real. Las constantes suelen representarse con las primeras letras del abecedario. Ejemplos de constantes son 2, 3, 5, a, b, c,. 2. Una variable es una letra que representa un valor real desconocido, lasvariables se representan generalmente con las últimas letras del abecedario. Ejemplos de variables son x, y, z. 3. Un término algebraico es un producto que involucra constantes y variables. Ejemplos de términos son 3a, 5cb, 2ax, abxy. Se suele llamar a parte de un término un factor, por ejemplo a es factor de abxy, ax es factor de abxy etc. 4. Una expresión algebraica es una suma de varios términos.Ejemplos de expresiones algebraicas son ab + xy, ax2 + x + c. Una expresión que consiste solo de términos producto de constantes y potencias de una variable se llama polinomio, por ejemplo a + bx + cx2 + dx3 .

Encontrar un factor común
El caso más simple de la aplicación de la factorización es cuando todos los términos de una expresión algebraica tienen un factor común, es decir una variable,constante o productos de estos. Factorizar se usa como la acción de aplicar la propiedad distributiva de los números reales obteniendo la forma a(b + c) de ab + ac. 1. Factorizar −a − b. Paso 1 Identificado los términos. La expresión −a − b tiene dos términos, a, b. Paso 2 Identificado el factor común. En la expresión −a − b, −1 es un factor común, (−1)a + (−1)b. Paso 3 Factorizando. −a − b = −(a +b). Aplicamos la propiedad de la identidad que dice que para todo número entero d entonces 1d = d. 2. Factorizar a2 + ab. Paso 1 Identificado los términos. La expresión a2 + ab tiene dos términos, a2 , ab. Paso 2 Identificado el factor común. En la expresión a2 + ab, a es un factor común, aa + ab. Paso 3 Factorizando. a2 + ab = a(a + b). 3. Factorizar 3a3 − a2 . Paso 1 Identificado los términos. Laexpresión 3a3 − a2 tiene dos términos, 3a3 , a2 . Paso 2 Identificado el factor común. En la expresión 3a3 − a2 ,a2 es un factor común, 3a2 a − a2 . Paso 3 Factorizando. 3a3 − a2 = a2 (3a − 1). 4. Factorizar 2a2 x + 6ax2 .

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2. Encontrar un factor común

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Paso 1 Identificado los términos. La expresión 2a2 x + 6ax2 tiene dos términos, 2a2 x, 6ax2 . Paso 2 Identificado el factor común. En laexpresión 2a2 x + 6ax2 , 2ax es un factor común, 2axa + 3 · 2axx. Paso 3 Factorizando. 2a2 x + 6ax2 = 2ax(a + 3x). 5. Factorizar 35x2 y 3 − 70x3 . Paso 1 Identificado los términos. La expresión 35x2 y 3 − 70x3 tiene dos términos, 35x2 y 3 , 70x3 . Paso 2 Identificado el factor común. En la expresión 35x2 y 3 − 70x3 , 7x2 es un factor común, 7x2 5xy 3 − 10 · 7x2 x. Paso 3 Factorizando. 35x2 y 3 −...