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EJEMPLO 1. En una granja agrícola se desea criar conejos y pollos como complemento en su economía, de forma que no se superen en conjunto las 180 horas mensuales destinadas a esta actividad. Su almacén sólo puede albergar un máximo de 1000 kilogramos de pienso. Si se supone que un conejo necesita 20 kilogramos de pienso al mes y un pollo 10 kilogramos al mes, que las horas mensuales de cuidadosrequeridos por un conejo son 3 y por un pollo son 2 y que los beneficios que reportaría su venta ascienden a 500 y 300 pesetas por cabeza respectivamente, hallar el número de animales que deben criarse para que el beneficio sea máximo. Solución: Definimos las variables originales como: x1 = número de conejos. x2 = número de pollos. La función a maximizar, beneficio obtenido, será: f (x1 , x2 ) =500 x1 + 300 x2 Las restricciones lineales del problema se formulas como: 20 x1 + 10 x2 ≤ 1000 3x1 + 2 x2 ≤ 180 (para la disponibilidad del pienso) (para la disponibilidad de horas)

Finalmente, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: x1 , x2 ≥ 0

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El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: max s.a.: f (x1 , x2 ) = 500 x1 + 300 x2 20 x1 +10 x2 ≤ 1000 3x1 + 2 x2 ≤ 180 x1 , x2 ≥ 0

El siguiente paso consistirá en pasar a la forma estándar, esto es, introducimos variables de holgura en las dos restricciones verdaderas, obteniendo, una vez realizadas las simplificaciones oportunas: max s.a.: 500 x1 + 300 x2 H 2 x1 + x2 + x3 = 100
H 3x1 + 2 x2 + x4 = 180 H x1 , x2 , x3H , x4 ≥ 0

La solución factible básica inicial es:
H x1 = x2 =0 , x3 = 100 , H x4 = 180

Así, obtenemos la tabla inicial del algoritmo del Simplex: x1
H x3

x2 3 2 300

H x3

H x4

100 180

2 3 500

1 0 0

0 1 0

x

H 4

Continuamos con las siguientes iteraciones: x1 x1 x
H 4

x2 1/2 1/2 50

H x3

H x4

50 30

1 0 0

1/2 -3/2 -250

0 1 0

2

x1 x1 x2 20 60 1 0 0

x2 0 1 0

H x3

H x4

2 -3 -100

-1 2 -100Obtenemos, por tanto, la solución óptima cuyo valor es:
* * x1 = 20 conejos, x2 = 60 pollos, Z * = 28000 pesetas.

Este problema puede ser resuelto también gráficamente:

D

C

A B 500x + 300y = 0 3x + 2y = 180 20x + 10y = 1000

Ahora, calculamos los vértices y el valor que toma en ellos la función objetivo: A = (0,0), B = (50,0), C = (20,60), D = (0,90) f (A) = 0, f(B) = 25000,f(C) = 28000, f(D) = 27000 Por tanto, obtenemos la misma solución: 20 conejos y 60 pollos, con un beneficio máximo de 28000 pesetas.

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EJEMPLO 2. En una fábrica de dulces navideños se preparan dos surtidos para lanzarlos al mercado. El primero se vende a 450 pesetas y contiene 150 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 80 gramos de roscos de vino. El segundo surtido se vende a 560pesetas y contiene 200 gramos de polvorones, 100 gramos de mantecados y 100 gramos de roscos de vino. Se dispone de un total de 200 kilogramos de polvorones, 130 kilogramos de mantecados y 104 kilogramos de roscos de vino. La empresa de embalajes sólo le puede suministrar 1200 cajas. ¿Cuántos surtidos de cada tipo convendría fabricar para que el beneficio sea máximo?. Solución: Definimos lasvariables originales como: x1 = número de surtidos del tipo 1. x2 = número de surtidos del tipo 2. La función a maximizar, beneficio obtenido, será: f (x1 , x2 ) = 450 x1 + 560 x2 Las restricciones lineales del problema se formulan como: 150 x1 + 200 x2 ≤ 200000 100 x1 + 100 x2 ≤ 130000 80 x1 + 100 x2 ≤ 104000 x1 + x2 ≤ 1200 (para la disponibilidad de los polvorones) (para la disponibilidad de losmantecados) (para la disponibilidad de los roscos) (para la disponibilidad de las cajas)

Finalmente, por su definición, tenemos las restricciones de no negatividad de las variables: x1 , x2 ≥ 0

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El planteamiento del problema queda, por tanto, de la siguiente manera: max s.a.: f (x1 , x2 ) = 450 x1 + 560 x2 150 x1 + 200 x2 ≤ 200000 100 x1 + 100 x2 ≤ 130000 80 x1 + 100 x2 ≤ 104000 x1 + x2 ≤...