Administracion

Algebra Lineal XIII: Operaciones con Transformaciones Lineales.
Jos´ Mar´ Rico Mart´
e
ıa
ınez
Departamento de Ingenier´ Mec´nica
ıa
a
Facultad de Ingenier´ Mec´nica El´ctrica y Electr´nica
ıa
a
e
o
Universidad de Guanajuato
email: jrico@salamanca.ugto.mx

1.

Operaciones con Transformaciones Lineales.
En estas notas definiremos diferentes operaciones que se pueden realizar contransformaciones lineales.

Definici´n de suma de transformacionales lineales. Sean S y T dos transformaciones lineales
o
de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V , ambos definidos sobre un campo K. La suma
S + T de las transformaciones lineales se define como
S+T :V →V

(S + T )(v ) ≡ S (v ) + T (v)

∀v ∈ V.

e
o
Teorema. La suma de transformaciones lineales S + T : V →V es tambi´n una transformaci´n lineal.
´
Prueba: Como ya se indic´, en las notas Algebra Lineal X, es necesario probar que la transformaci´n
o
o
e
es aditiva y homog´nea. Sean v1 , v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea λ ∈ K tambi´n arbitrario. Entonces
e
1. Aditiva
(S + T )(v1 + v2 ) =

S (v1 + v2 ) + T (v1 + v2 ) = S (v1 ) + S (v2 ) + T (v1 ) + T (v2 )

=

S (v1 ) + T (v1 ) + S(v2 ) + T (v2 ) = [S (v1 ) + T (v1 )] + [S (v2 ) + T (v2 )]

=

(S + T )(v1 ) + (S + T )(v2 )

2. Homog´nea
e
(S + T )(λv1 ) =

S (λv1 ) + T (λv1 ) = λS (v1 ) + λT (v1 ) = λ[S (v1 ) + T (v1 )] = λ(S + T )(v1 )

Definici´n de multiplicaci´n por escalar de transformacionales lineales. Sea S una transo
o
formaci´n lineal de un espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V , ambosdefinidos sobre un
o
campo K. La multiplicaci´n por un escalar λ ∈ k de la transformaci´n lineal S , denotada por λS se
o
o
define como
λS : V → V (λS )(v ) ≡ λ [S (v )] ∀v ∈ V.
Teorema. La multiplicaci´n por escalar de una transformaci´n lineal λS : V → V es tambi´n una
o
o
e
transformaci´n lineal.
o
´
Prueba: Como ya se indic´, en las notas Algebra Lineal X, es necesario probar que latransformaci´n
o
o
e
es aditiva y homog´nea. Sean v1 , v2 ∈ V dos vectores arbitrarios y sea μ ∈ K tambi´n arbitrario. Entonces
e
1. Aditiva
(λS )(v1 + v2 ) = λ[S (v1 + v2 )] = λ[S (v1 ) + S (v2 )] = λ[S (v1 )] + λ[S (v2 )] = (λS )(v1 ) + (λS )(v2 ).
1

2. Homog´nea
e
(λS )(μv1 )

= λ[S (μv1 )] = λ[μS (v1 )] = λμ[S (v1 )] = μλ[S (v1 )] = μ[λS (v1 )] = μ[(λS )(v1 )]

Teorema. Elconjunto de todas las transformaciones lineales de un espacio vectorial V sobre otro
o
o
espacio vectorial V ambos definidos sobre un campo K, junto con las operaciones de adici´n y multiplicaci´n
por escalar, definidas en estas notas, constituye un espacio vectorial sobre el mismo campo K.

Figura 1: Representaci´n Gr´fica de la Composici´n de Transformaciones Lineales.
o
a
o
Definici´n deComposici´n de Transformaciones Lineales. Sean S : V → V y T : V → V
o
o
dos transformaciones lineales. El producto o composici´n de transformaciones lineales, T S , es el mapeo
o
TS : V → V

(T S )(v ) = T [S (v)] ∀v ∈ V.

La figura 1 provee de una representaci´n gr´fica de la composici´n o producto de transformaciones
o
a
o
lineales. Note que, en general, el producto ST no est´ definido.a
Teorema. El producto T S de dos transformaciones lineales S : V → V y T : V → V es una
transformaci´n lineal de V → V .
o
Prueba: En primer lugar debe notarse que el dominio de la transformaci´n lineal T S es efectivamente
o
V y el rango est´ contenido en V . Considere dos vectores v1 , v2 ∈ V y λ ∈ K. Entonces
a
(T S )(v1 + v2 ) = T [S (v1 + v2 )] = T [S (v1 )] + T [S (v2 )] = (T S )(v1) + (T S )(v2 ).
Por lo tanto, la transformaci´n T S es aditiva. Similarmente
o
(T S )(λv1 ) = T [S (λv1 )] = T [λS (v1 )] = λT [S (v1 )] = λ(T S )(v1 ).
Por lo tanto, la transformaci´n T S es homog´nea y es una transformaci´n lineal.
o
e
o
Teorema. Suponga que las transformaciones lineales R, S y T tienen caracter´
ısticas tales que en
cada uno de los casos la composici´n o...