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 Ecuaciones Analíticas de la Hipérbola
caso 1. Hipérbola con focos F’(-c, 0) y F(c, 0) ; c > 0.
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyos focos están en los puntosF(-c, 0) y F(c, 0) viene dada por:
(1).
Demostración:
Si P(x, y) es un punto que pertenece a la hipérbola considerada (fig. 6.3.1.), se tiene de acuerdo a la definición i. que:
ó
De donde,
óEs decir,
Equivalentemente, usando la fórmula de distancia, se puede escribir:


Elevando ambos miembros al cuadrado en la última igualdad y simplificando se obtiene:


Elevando nuevamenteambos miembros al cuadrado en la última igualdad y después de simplificar y factorizar se puede escribir:


Recordando además que (observación iii.) y al dividir ambos miembros de la última igualdadpor , se obtiene finalmente, que corresponde a la ecuación pedida.
Caso 2. Hipérbola con focos en F’(0, -c) y F(0, c) ; c > 0.
TEOREMA:
La ecuación de la hipérbola centrada en el origen y cuyosfocos están en los puntos F’(0, -c) y F(0, c) viene dada por:
(1).


DETERMINAR LA ECUACION DE LAS ASINTOTAS EN BASA A LA ECUACION DE HIPERBOLA
Se llama ecuación reducida a la ecuación de lahipérbola cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, el centro de hipérbola con el origen de coordenadas.
Si el eje real está en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:F'(−c,0) y F(c,0)
Cualquier punto de la hipérbola cumple:

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones y teniendo en cuenta que , llegamos a:


Ejemplos
Hallar la ecuación de lahipérbola de foco F(4, 0), de vértice A(2, 0) y de centro C(0, 0).



Hallar la ecuación y la excentricidad de la hipérbola que tiene como focos los puntos F'(-5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferenciade los radios vectores.



Hallar las coordenadas de los vértices y de los focos, las ecuaciones de las asíntotas y la excentricidad de la hipérbola 9x2 - 16y2 = 144.







Ecuación...