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FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO:  Como veremos no todo polinomio se puede se puede descomponer  en dos o mas factores distintos de 1,  pues en el mismo  modo que en aritmética, hay números primos que  solo son divisibles por ellos mismos y por 1, hay expresiones algebraicas que sólo son divisibles por ellos mismos y por 1, y que , por lo tanto, o son  el  producto de otras expresiones algebraicas,el teorema fundamental del álgebra puede dar la respuesta de cuando se puede obtener una descomposición.
 
 
Factor común
 
El caso mas simple es cuando todos los términos de  un monomio o en general un polinomio tienen un factor común.
 
a).- Factor común monomio.
Se pretende descomponer en factores la expresión algebraica:  .
 Como  los factores de la expresión  son   y  , los cualestienen en común a  escribiremos al factor común  como coeficiente de la expresión   teniendo
 
 
b).- Factor común polinomio.
 
Se pretende descomponer la expresión  .
Los términos    y  tienen en común el factor  por lo que 
 
 
Como podemos observar en ambos casos, factor común monomio y factor común
polinomio, cada uno de los términos de la expresión original se puede dividir por
elfactor común.
Ejemplos:
Expresión algebraica
Factor común
descomposición
2+2x
2
2 + 2x =2(1+x)
x(a + b) + m(a + b)
(a + b)
x(a + b) + m(a + b) = (x + m)(a + b)
3x2 + 3
3
3x2 + 3 = 3(x2+1)
2x+1
Ninguno
 
3x2 + 1
Ninguno
 
 
   
En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.
 
polinomio, cada uno de los términos de laexpresión original se puede dividir por
el factor común.
Ejemplos:
  
   


En el último ejercicio se muestra una expresión de grado dos y la descomposición no se puede realizar.
   
TRINOMIO CUADRADO PERFECTO.
 
Se dice que una expresión es un cuadrado perfecto cuando la expresión se puede descomponer como producto de un mismo factor.
 
 
Por ejemplo:
1.- Se puede expresar como9x2  como 9x2= (3x)(3x)
2.-   x4 se puede descomponer como  x4=(x2 )(x2)
 
  Un trinomio  es  cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio, o el  producto de dos binomios iguales.
Por ejemplo: x2 + 2xy + y2  se puede expresar como:
 
Nota cuando se utiliza el signo mas la expresión es:
 
 (x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
 
con signo menos:
(x - y )2 = (x - y) (x - y ) = x2 - 2xy +y2
 
o en una sola expresión:
 
(x + y )2 = (x + y) (x + y ) = x2 + 2xy + y2
 
También se lee como: “El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término mas o menos, según el caso, el doble producto del primero por el segundo mas el cuadrado del segundo.”
Ejemplos de Trinomios cuadrados perfectos
x2 /4 + xy + y2 = ( x/2 + y ) 2 = (x/2 + y) (x/2 + y )
4x2  + 12xy + 9y2 = (2x + 3y ) 2 = (2x + 3y) (2x + 3y )
x2 /4 - 2xy + 4y2 = ( x/2 - 2y ) 2 = ( x/2 - 2y ) ( x/2 - 2y )
25a2  + 30ab + 9b2 = ( 5a + 3b ) 2 = ( 5a + 3b ) ( 5a + 3b )

DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS.
 
 En los  productos notables se vio que la suma de  dos cantidades  multiplicados por su diferencia es igual al  cuadrado del minuendo menos el cuadrado del sustraendo, o sea     
 
Se conoce comodiferencia de cuadrados a la expresión formada por el producto de una suma de dos términos y la diferencia de los mismos términos.
 
 (x + y ) (x – y) = x2 – y2
 
Regla para factorizar una diferencia de cuadrados.
 
Dada la diferencia de cuadrados, x2 – y2, se saca la raíz a los dos términos, considerando la raíz positiva  y se multiplica la suma de las dos raíces por la diferencia de lasdos raíces.
 
Ejemplos  
    

TRINOMIO  DE LA FORMA x2 + bx +c.
La descomposición de factores de la forma x2 + bx +c depende de los valores de b y c, positivos o negativos (ecuación de segundo grado).
 
Ejemplos:
 
Ejemplos de expresiones algebraicas de segundo grado de la forma x2 + bx +c
x2 -2x +1= (x -1)(x -1) = (x -1)2
x2 -2x +5 no se puede descomponer en el campo de los reales....