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PROGRAMACIÓN LINEAL
La programación matemática es una parte muy importante de la optimización económica.
Todo programa de programación matemática consta de una “Función-Objetivo” que es la función que se ha de “maximizar” o “minimizar”.
Siempre los “beneficios” se deben maximizar y por ende los costos “minimizar”.
La función-objetivo está sujeta a condiciones o restricciones, las cualespueden ser igualdades o desigualdades.
Para la programación lineal todas las funciones y restricciones deben de ser de primer grado. Si son de grado 2 o superior estamos hablando de una programación no lineal.

MÉTODO GRÁFICO
Un programa lineal se puede resolver por método gráfico, hallando el “polígono de soluciones factibles”, para luego en cada uno de los vértices valorar la función-objetivo;siendo solución el mayor o menor de los valores, según corresponda.

POLÍGONO DE SOLUCIONES FACTIBLES
Al hablar de sistemas de inecuaciones con 2 variables, podemos pensar en un gráfico bidimensional, el cual se puede graficar mediantes rectas en un plano.
El polígono de soluciones factibles es el polígono en el que cualquiera de sus puntos se puede encontrar la solución al sistema.
Paragraficar el polígono de soluciones factibles debemos trazar las rectas de cada función e indicar la dirección a la que indica inecuación. Si es mayor igual la solución será sobre la recta y si es menor igual será bajo la recta.

La última expresión simplemente indica la condición de no-negatividad.

El polígono de soluciones factibles se forma por el área en común que tienen las 2 inecuaciones.La solución puede encontrarse en cualquiera de los puntos del área pintada, es decir en cualquier punto del polígono de soluciones factibles.
PROBLEMAS
El gimnasio “UltraGym” se especializa en brindar instrucción en los ejercicios de abdominales y levantamiento de pesas. Por cada set de instrucción de abdominales se obtiene un beneficio de $5; y por el set de levantamiento de pesas $8. Cadaejercicio debe someterse a “calentamiento” y “el desarrollo mismo del ejercicio”. El instructor de calentamiento solamente tiene 1 hora diaria disponible, mientras que el instructor del ejercicio tiene 3 horas con 20 minutos. Los abdominales necesitan de 10 minutos para calentar y 20 minutos para el ejercicio; mientras que las pesas necesitan 5 minutos para calentar y 50 minutos para el ejercicio.¿Cuántos sets de cada ejercicio se debe instruir para obtener el máximo beneficio diario?
Planteamiento:

TIPO DE EJERCICIO


Abdominales
Pesas
Limite
Calentamiento
10m
5m
60m
Ejercicio
20m
50m
200m
Beneficio
$5
$8

Cantidad de Sets
x1
x2




Gráfico:

Cortes con los ejes:



Intersecciones:


Tabla de soluciones:
VÉRTICE
COMBINACIÓN
BENEFICIO
(0; 0)

0(0; 4)

32
(6; 0)

30
(5; 2)

41

Solución:
El beneficio máximo será de $41 diarios en la combinación y ; es decir instruyendo 5 sets de abdominales, y 2 de levantamiento de pesas.



Cortes con los ejes:




Gráfico:


Intersecciones:




Tabla de soluciones:
VÉRTICE
COMBINACIÓN
BENEFICIO
(7; 0.5)

59
(2.857; 2.57)

38.28
(7; 15)

146

Solución:
Elbeneficio máximo será de $146 en la combinación y .



Cortes con los ejes:



Gráfico:


Intersecciones:


Tabla de soluciones:
VÉRTICE
COMBINACIÓN
COSTO
(0; 10)

30
(2; 6)

32
(8; 0)

56

Solución:
El costo mínimo será de $30 en la combinación y .




Cortes con los ejes:



Gráfico:

Intersecciones:


Tabla de soluciones:
VÉRTICE
COMBINACIÓN
COSTO
(0;2)

4
(1; 3)

7

Solución:
El costo mínimo será de $4 en la combinación y .

MÉTODO SIMPLEX
MAXIMIZACIÓN
Es un procedimiento que permite ir mejorando la solución a cada paso. El proceso concluye cuando no es posible seguir mejorando más dicha solución.
Para este proceso debemos convertir las inecuaciones en ecuaciones sumando o restando holguras (S1, S2, S3,…), una para cada...