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Cap´ ıtulo 2 Regla de la cadena y derivaci´n o impl´ ıcita
En las aplicaciones nos encontramos a menudo con la necesidad de usar funciones vectoriales de varias variables: una funci´n vectorial de una variable o define una curva, una funci´n vectorial de tres componentes y dos variables o define una superficie, una distribuci´n de cargas el´ctricas crea un campo o e el´ctrico que se describe pormedio de una funci´n vectorial de tres come o ponentes y tres variables, etc. En este tema establecemos los conceptos de funci´n vectorial diferenciable y matriz jacobiana. El resultado fundamental o es la regla de la cadena que nos muestra c´mo se obtienen las derivadas paro ciales de una funci´n compuesta f ◦ g en t´rminos de las derivadas parciales o e de f y g. El tema termina con diversasaplicaciones de la regla de la cadena.

2.1.

Funciones vectoriales diferenciables.

Sean f1 , .., fm funciones definidas en un subconjunto D de Rn . La funci´n o definida por x = (x1 , .., xn ) ∈ D → (f1 (x), .., fm (x)) ∈ Rm ,

42

se dir´ que es una funci´n vectorial de n variables y m componentes y suele a o denotarse por f = (f1 , .., fm ). D es un subconjunto de Rn que recibe el nombrede dominio de f . Ejemplo 2.1.1. El campo gravitatorio creado por una masa puntual m situada en el origen viene dado por f (x, y, z) = (x2 Gm (−x, −y, −z), + y 2 + z 2 )3/2

definido para (x, y, z) = (0, 0, 0). En este caso las funciones componentes son f1 (x, y, z) = f2 (x, y, z) = f3 (x, y, z) = (x2 −Gmx , + y 2 + z 2 )3/2 −Gmy , + y 2 + z 2 )3/2

(x2 (x2

−Gmz . + y 2 + z 2 )3/2 Diremos queuna funci´n vectorial f = (f1 , .., fm ) es diferenciable en un o punto x0 cuando lo son todas sus componentes. Si f es diferenciable en x0 , la matriz m × n cuyas filas son los gradientes de cada componente recibe el nombre de matriz jacobiana de f en el punto x0 y se denota por f (x0 ). Para facilitar la comprensi´n, vamos a desarrollar lo que resta de este apartado o para el caso de funcionesde dos variables y dos componentes. Si f = (f1 , f2 ) es diferenciable en x0 = (x0 , y0 ), sus dos componentes son diferenciables en dicho punto y, por tanto, existen los gradientes fi (x0 , y0 ) (i = 1, 2). La matriz jacobiana de f en el punto (x0 , y0 ) tiene la forma f (x0 , y0 ) =
∂f1 (x0 , y0 ) ∂x ∂f2 (x0 , y0 ) ∂x ∂f1 (x0 , y0 ) ∂y ∂f2 (x0 , y0 ) ∂y

Si necesitamos un valor aproximado dela diferencia f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ), 43

para valores peque˜os de ∆x e ∆y, basta recordar que cada componente n fi (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − fi (x0 , y0 ) de la diferencia vectorial anterior puede aproximarse por dfi (x0 , y0 ; ∆x, ∆y) = fi (x0 , y0 ) · (∆x, ∆y),

puesto que cada fi es diferenciable en (x0 , y0 ). Si definimos la diferencial de la funci´n vectorial por o df (x0 , y0 ;∆x, ∆y) = (∆x, ∆y) · f (x0 , y0 )t = = (∆x, ∆y) ·
∂f1 (x0 , y0 ) ∂x ∂f2 (x0 , y0 ) ∂x ∂f1 (x0 , y0 ) ∂y ∂f2 (x0 , y0 ) ∂y t

,

entonces la diferencial es un vector cuyas componentes son aproximaciones de las correspondientes componentes de f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) y dichas aproximaciones son tanto mejores en cuanto los incrementos de las variables independientes, ∆x y ∆y, sean m´speque˜os. a n

Ejemplo 2.1.2. Si f (x, y) = (xy, x2 − y 2 ), estudiar si es diferenciable y calcular su diferencial. Sus componentes son las funciones f1 (x, y) = xy y f2 (x, y) = x2 − y 2 . Se trata de dos funciones que tienen derivadas parciales de primer orden continuas en R2 y, por tanto, son diferenciables en cada punto de R2 . Esto demuestra que la funci´n vectorial f es diferenciable en R2. La matriz o jacobiana tiene la forma f (x, y) = Entonces una aproximaci´n de o 44 y x 2x −2y .

f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) viene dada por (∆x, ∆y) · y x 2x −2y
t

=

= (y∆x + x∆y, 2x∆x − 2y∆y). El caso de funciones vectoriales de una variable real presenta una particularidad que destacamos a continuaci´n. El n´mero de componentes es indiferente, o u pero, para simplificar,...