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El cálculo diferencial es una poderosa herramienta matemática para analizar el cambio de las cosas. El cálculo diferencial es una parte del análisis de expresión oral que consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos de análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es laderivada.
Alrededor de 600 años A.C. alguien descubrió que para obtener agradables acordes en un instrumento de cuerdo el largo de esas cuerdas tenían que estar en relación con números sencillos. Esto se llama armonía pitagórica era importante porque era la primera vez que se relacionaban las matemáticas y el mundo físico aunque esto se olvidó y hubo que descubrirla nuevamente y de una forma máscomplicada. La armonía pitagórica es el concepto armonía, extraído de investigaciones matemático-musicales, lo que va a ser el fundamento de la doctrina pitagórica.
al descubrir y expresar aritméticamente los intervalos de la escala musical, como las razones entre los números 1,2,3 y 4, descubren que existe un orden inherente y una organización numérica en la naturaleza del sonido.
Unos 1000 añosdespués fue galileo Galilei quien lo descubrió, quien también utilizó el teorema de Pitágoras para determinar la medida de algunas montañas lunares.
Desde hace ya muchos años los físicos utilizan el lenguaje de las matemáticas y los músicos aproximadamente desde 600 años A.C también se sirven de él, como todas las lenguas las matemáticas tienen su propio vocabulario, sus propias lenguas y símbolosincluso su historia y una parte de esta fue Galileo Galilei.
Vincenzo Galilei fue el padre de Galileo Galilei quien fue un gran músico, escribió un libro en el cual se oponía la utilización de la armonía pitagórica. El consideraba los antiguos acordes griegos demasiado simples, más tarde Galileo considero que las matemáticas griegas eran demasiado sencillas para expresar sus ideas y creo laCinemática.
La cinemática es la ciencia que describe el movimiento de los objetos utilizando palabras, diagramas, números, gráficas y ecuaciones.  Hacia 1605, Galileo Galilei  hizo sus famosos estudios del movimiento de caída libre y de esferas en planos inclinados a fin de comprender aspectos del movimiento relevantes en su tiempo, como el movimiento de los planetas y de las balas de cañón.
Loseruditos necesitaban un lenguaje más sofisticado el que se hablaba desde Arquímedes y Euclides. Después de Galileo la física necesitaba un lenguaje más avanzado, el cual se llamaría el cálculo diferencial es muy potente y del sale la derivada.
Un ejemplo muy sencillo para la derivada es el ejercicio, la derivada no solo se aplica a un cuerpo moviéndose horizontalmente, ni por eso ni solo un cuerpomoviéndose verticalmente, la derivada es el ritmo de cambio de cualquier función en un determinado punto o instante la velocidad es la derivada de la distancia, una derivada puede representar el ritmo de cambio de cualquier cosa.
 La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. Laderivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Pierre de Fermat Fermat fue junto con Rene Descartes uno de los principalesmatemáticos de la primera mitad del siglo XVII descubrió el cálculo diferencial antes que Newton y Leibniz, fue cofundador de la teoría de probabilidades junto a Blaise Pascal e independientemente de Descartes, descubrió el principio fundamental de la geometría analítica. Sin embargo, es más conocido por sus aportaciones a la teoría de números en especial por el conocido como último teorema de...