administradora

Taller # 1 - N´umeros reales
Introducci´on al C´alculo
Departamento de Matem´aticas

1) En R defina la operaci´on
x ∗ y = x + y + xy.
Por ejemplo 2 ∗ 3 = 2 + 3 + 2 · 3 = 11. Esta operaci´on esconmutativa?, es asociativa?, es modulativa?.
2) En N la operaci´on de potenciaci´on es definida por
b ∗ n = bn = b · b · b · · · b
n veces

Esta operaci´on es conmutativa?, es asociativa?, esmodulativa?.
3) Pruebe que si 0 = x ∈ Q ∧ y ∈ Q∗ , entonces x + y, x · y ∈ Q∗ .
4) Complete la tabla usando ∈ ´o ∈
/ seg´
un el n´
umero pertenezca o no al conjunto dado
N Z Q Q∗

R

−8
−3/11√
−
√ 25
2
√
3
−64
5, 75
121/11
π
5) En este ejercicio P denota el conjunto de los n´
umeros primos. Es decir, p ∈ P si, y solamente si, los
u
´ nicos divisores de p son el n´
umero 1y el propio p. Inserte ⊆ ´o para hacer que el enunciado sea
correcto.
a) N

Z

b) Z

Q∗

c) P

N

d) {2n + 3 : n ∈ N}

e) {2p : p ∈ P }

f) {2n − 3 : n ∈ Z}

{2n + 5 : n ∈ Z}

h){2n + 1 : n ∈ N}

{2n − 1 : n ∈ N}

g) P
{2n + 5 : n ∈ N}

{2p + 2 : p ∈ P }

{2n + 1 : n ∈ N}

√
√
6) Si S = {4, 2, −0.5, 0}, T = {2, 3, 0.75, 1} determine los siguientes conjuntos
a)N ∪ Q

d) S ∩ T

c) Z ∪ N

f) S ∩ Q∗

b) Q ∩ Q∗

g) T ∪ N

h) S ∪ Z

e) S ∪ T

i) T ∩ N

1

7) Representar gr´aficamente y hallar los inversos aditivo y multiplicativo de los n´umeros reales
√
√
4
3−1
a) − 7
3
d)
1
−
b) √
c) −1
2
2
8) Muestre que
−0 = 0.
9) Muestre que
x = 0 =⇒ x−1 = 0 ∧ (x−1 )−1 = x .
10) Muestre que para cada x, y ∈ R,

−(x + y) = (−x)+ (−y).

Adem´as, si x = 0 ∧ y = 0, entonces
(x · y)−1 = x−1 · y −1.
11) Muestre que
(x = 0 ∧ xy = x) =⇒ y = 1;
12) Muestre que dados x, y, z, w ∈ R, con y = 0 ∧ w = 0, se tiene
x
z
x·w+y·z+ =
;
y w
y·w
x z
x·z
· =
.
y w
y·w
13) Muestre que
x
y

−1

=

y
x−1
= ,
−1
y
x

x, y = 0.

14) Realizar las siguientes operaciones con n´
umeros reales
a)

1−

1√...